Koule v magnetickém poli
Úloha číslo: 251
Nápověda 1
V úloze Magnetické pole homogenně zmagnetované koule je spočteno, že rovnoměrně zmagnetovaná koule s magnetizací \(\vec M\) budí uvnitř sebe homogenní pole o magnetické indukci
\[\vec B = \frac{2}{3}\mu_0\vec M.\]Rozbor
Vnější homogenní pole \(\vec B_0\) kouli zmagnetuje a vytvoří v ní magnetizaci \(\vec M_0\). Tato magnetizace, způsobená polem \(\vec B_0\), pole uvnitř koule změní. To si můžeme představit tak, že v kouli se vytvoří nové pole \(\vec B_1\), které k původnímu poli \(\vec B_0\) přičteme.
Toto nové pole \(\vec B_1\) ale opět „vytvoří“ magnetizaci koule — konkrétně přidá k magnetizaci další
příspěvek \(\vec M_1\). A tento příspěvek k magnetizaci vytvoří další pole \(\vec B_2\), které opět přidá další příspěvek k magnetizaci \(\vec M_2\) a tak dále.
Můžeme zkusit použít následující strategii: postupně střídavě počítat nové příspěvky k magnetizaci a jimi vyvolané příspěvky k magnetickému poli. Dostaneme tak nekonečnou řadu, kterou se pokusíme sečíst — ačkoliv dopředu není vůbec jasné, zda se nám to podaří.
Nápověda 2
Přečtěte si rozbor úlohy, je v něm popsána strategie řešení.
Homogenní pole o indukci \(\vec B_0\) vyvolá magnetizaci materiálu \(\vec M_0\), přičemž vzhledem k linearitě materiálu platí
\[\vec M_0 = \chi_\mathrm{m}\vec H_0 = \chi_\mathrm{m}\,\frac{\vec B_0}{\mu_0(1+\chi_\mathrm{m})},\]kde χm je magnetická susceptibilita dané látky.
Uvažte dále, že tato magnetizace \(\vec M_0\) vyvolá nové pole o indukci \(\vec B_{1}\) a podle první nápovědy platí
\[\vec B_1 = \frac{2}{3}\mu_0\vec M_0 = \frac{2}{3}\ \frac{\chi_\mathrm{m}}{1+\chi_\mathrm{m}}\vec B_0.\]Toto pole \(\vec B_1\) ale vyvolá novou magnetizaci \(\vec M_1\) a ta opět nové pole \(\vec B_2\).
Předchozí postup několikrát zopakujte a zkuste vyvodit obecný vztah pro \(\vec B_\mathrm{n}\).
Řešení
Původní homogenní pole \(\vec B_0\) kouli homogenně zmagnetuje na magnetizaci \(\vec M_0\). Tato magnetizace přidá příspěvek \(\vec B_1\) k původnímu poli, který přidá příspěvek \(\vec M_1\) k magnetizaci a tak dále.
1. příspěvek: Vnější homogenní pole \(\vec B_0\) způsobí homogenní magnetizaci koule
\[\vec M_0 = \chi_\mathrm{m}\vec H_0 = \frac{\chi_\mathrm{m}}{\mu_0(1+\chi_\mathrm{m})}\vec B_0.\]Tato magnetizace v kouli vyvolá nový příspěvek \(\vec B_1\) k původnímu poli; vypočetli jsme jej v úloze Magnetické pole homogenně zmagnetované koule:
\[\vec B_1 = \frac{2}{3}\mu_0\vec M_0 = \frac{2}{3}\ \frac{\chi_\mathrm{m}}{1+\chi_\mathrm{m}}\vec B_0.\]Ze vztahu ihned plyne, že také nový příspěvek k magnetické indukci má charakter homogenního pole se stejným směrem a stejnou orientací jako původní pole \(\vec B_0\).
2. příspěvek: nové homogenní pole \(\vec B_1\) opět způsobí další příspěvek k magnetizaci koule
\[\vec M_1 = \chi_\mathrm{m}\vec H_1 = \frac{\chi_\mathrm{m}}{\mu_0(1+\chi_\mathrm{m})}\vec B_1.\]Tento nový příspěvek k magnetizaci vyvolá v kouli další příspěvek k magnetickému poli
\[\vec B_2 = \frac{2}{3}\mu_0\vec M_1 = \frac{2}{3}\ \frac{\chi_\mathrm{m}}{1+\chi_\mathrm{m}}\vec B_1 = \left(\frac{2}{3}\ \frac{\chi_\mathrm{m}}{1+\chi_\mathrm{m}}\right)^2\vec B_0.\]Druhý příspěvek k poli \(\vec B_2\) přidá třetí příspěvek k magnetizaci \(\vec M_2\), ten přidá třetí příspěvek k poli \(\vec B_3\) a tak dále.
Všechny příspěvky k poli, resp. k magnetizaci, jsou homogenní, neboť homogenní pole vyvolává homogenní magnetizaci a naopak homogenní magnetizace vyvolává nové homogenní pole.
Z posledního vztahu navíc uhodneme (formálně bychom to také mohli dokázat např. matematickou indukcí), že n-tý příspěvek k poli bude určen vztahem
\[\vec B_\mathrm{n} = \left(\frac{2}{3}\ \frac{\chi_\mathrm{m}}{1+\chi_\mathrm{m}}\right)^\mathrm{n}\vec B_0.\]Také z tohoto vztahu je vidět, že všechny příspěvky mají charakter homogenního pole a mají stejný směr i stejnou orientaci jako původní pole \(\vec B_0\).
Celkové pole v kouli je tedy určeno geometrickou řadou
\[\vec B = \sum_\mathrm{n=0}^\infty \vec B_\mathrm{n} = \left[\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{3}\ \frac{\chi_\mathrm{m}}{1+\chi_\mathrm{m}}\right)^\mathrm{n}\right]\,\vec B_0.\]Řada v závorce má první člen a1 = 1 a kvocient
\[q = \left(\frac{2}{3}\ \frac{\chi_\mathrm{m}}{1+\chi_\mathrm{m}}\right).\]Pro součet s geometrické řady platí obecný vztah
\[s = \frac{a_1}{1-q},\]odkud po dosazení vyplývá, že
\[\sum_\mathrm{n=0}^\infty \left(\frac{2}{3}\ \frac{\chi_\mathrm{m}}{1+\chi_\mathrm{m}}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{2}{3}\ \frac{\chi_\mathrm{m}}{1+\chi_\mathrm{m}}} = \frac{3(1+\chi_\mathrm{m})}{3+3\chi_\mathrm{m} - 2\chi_\mathrm{m} } = \frac{3+3\chi_\mathrm{m}}{3+\chi_\mathrm{m}}.\]Pro magnetickou indukci \(\vec B\) jsme tedy získali vztah
\[\vec B = \left[\sum_\mathrm{n=0}^\infty \left(\frac{2}{3}\ \frac{\chi_\mathrm{m}}{1+\chi_\mathrm{m}}\right)^\mathrm{n}\right]\,\vec B_0 = \frac{3+3\chi_\mathrm{m}}{3+\chi_\mathrm{m}}\,\vec B_0.\]Odpověď
Magnetické pole uvnitř koule je homogenní a pro magnetickou indukci platí
\[\vec B = \frac{3+3\chi_\mathrm{m}}{3+\chi_\mathrm{m}}\,\vec B_0.\]Jiný způsob řešení
Úlohu lze řešit také jiným způsobem než postupným sčítáním příspěvků.
Stejně jako výše označme \(\vec{B}\) magnetickou indukci celkového pole uvnitř koule, které získáme superpozicí vnějšího pole \(\vec{B}_0\) a vnitřního pole vzniklého magnetizací. Označme \(\vec{H}_0\) magnetickou intenzitu vnějšího pole a \(\vec M\) výslednou magnetizaci koule. Potom (podle úlohy Magnetické pole homogenně zmagnetované koule) platí, že tato magnetizace budí uvnitř koule pole s indukcí
\[\vec B_\mathrm{mag} = \frac{2}{3}\mu_0\vec M.\]Magnetická indukce celkového pole uvnitř koule je tedy
\[\vec B = \vec B_0 + \vec B_\mathrm{mag} = \vec B_0 + \frac{2}{3}\mu_0\vec M.\tag{*}\]Z obecného vztahu mezi magnetickou indukcí, magnetickou intenzitou a magnetizací vyplývá, že
\[\vec B_\mathrm{mag} = \mu_0(\vec H_\mathrm{mag} + \vec M),\]kde \(\vec H_{mag}\) je intenzita pole uvnitř koule způsobená jejím zmagnetováním. Úpravou získáme vztah
\[\vec H_\mathrm{mag} = \frac{1}{\mu_0}\vec B_\mathrm{mag} - \vec M\]a po dosazení ze vztahu výše:
\[\vec H_\mathrm{mag} = -\frac{1}{3}\vec M.\]Celková magnetická intenzita pole uvnitř koule je tudíž
\[\vec H = \vec H_0 - \frac{1}{3}\vec M.\]Odtud dostáváme, že
\[\mu_0\vec H = \mu_0\vec H_0 - \frac{1}{3}\mu_0\vec M,\]a protože pro vnější pole (ve vakuu) platí, že \(\mu_0\vec H_0 = \vec B_0\), dostáváme
\[\mu_0\vec H = \vec B_0 - \frac{1}{3}\mu_0\vec M.\tag{**}\]Pokud do vztahu (*) dosadíme vztah \(\vec B = \mu\vec H\) (kde díky linearitě prostředí můžeme předpokládat, že \(\mu = 1+\chi_\mathrm{m}\) je konstanta), získáme vztah
\[\mu\vec H = \vec B_0 + \frac{2}{3}\mu_0\vec M.\tag{***}\]Vztahy (**) a (***) tvoří soustavu rovnic o dvou neznámých \(\vec M\) a \(\vec H\). Vydělením permeabilitami získáme soustavu
\[\vec H = \frac{1}{\mu_0}\vec B_0 - \frac{1}{3}\vec M,\] \[\vec H = \frac{1}{\mu}\vec B_0 + \frac{2}{3}\frac{\mu_0}{\mu}\vec M.\]Porovnáním pravých stran získáme rovnici
\[\frac{1}{\mu_0}\vec B_0 - \frac{1}{3}\vec M = \frac{1}{\mu}\vec B_0 + \frac{2}{3}\frac{\mu_0}{\mu}\vec M,\]z níž lze vyjádřit vektor magnetizace jako
\[\vec M = \frac{3}{\mu_0}\cdot \frac{\mu-\mu_0}{\mu+2\mu_0}\vec B_0.\]Magnetickou indukci výsledného pole pak určíme ze vztahu (*) dosazením za magnetizaci \(\vec M\). Po úpravě dostaneme
\[\vec B = \vec B_0 + \frac{2}{3}\mu_0\vec M = \frac{3\mu}{\mu+2\mu_0}\vec B_0.\]Pokud navíc využijeme vztahu \(\mu = (1+\chi_\mathrm{m})\mu_0\), získáme po dosazení a jednoduchém zkrácení stejné řešení jako výše:
\[\vec B = \frac{3(1+\chi_\mathrm{m})}{3+\chi_\mathrm{m}}\vec B_0.\]
