Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Kubická rovnice III.

Úloha číslo: 1611

Je dána kubická rovnice

\[x^3 - 19x - 30 = 0.\]

Určete počet a typ kořenů a následně kořeny vypočítejte.

  • Teorie: Goniometrické řešení casus irreducibilis

    Stojíme-li před kubickou rovnicí typu casus irreducibilis, lze kořeny nalézt goniometricky, jak ukazuje následující věta.

    (i) O casu irreducibilis (nezjednodušitelném případu) Je-li diskriminant kubické rovnice v redukovaném tvaru \(x^3 + px + q = 0\) záporný (tj. jde o casus irreducibilis), pak kořeny najdeme tak, že nalezneme \(\alpha\in(0,\pi)\) splňující rovnici \[ \cos 3\alpha = -\frac{q}{2}\sqrt{-\frac{27}{q^3}} \] a toto \(\alpha\) pak užijeme k výpočtu kořenů \[ \begin{eqnarray} x_1 &=& 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\alpha, \\ x_2 &=& 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\alpha + \frac{2\pi}{3}\right), \\ x_3 &=& 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right). \\ \end{eqnarray} \]

    Jak poznáme, že se jedná o casus irreducibilis, jsme řešili v úloze Počty reálných kořenů kubické rovnice.

  • Nápověda 1 – typ kubické rovnice

    Určete o jakou kubickou rovnici se jedná, tj. určete počet a typ kořenů. Nápovědou může být rozbor provedený v úloze Počty reálných kořenů kubické rovnice.

  • Nápověda 2 – hledání kořenů

    Casus irreducibilis je případ, kdy má kubická rovnice tři reálné kořeny, ale při užití Cardanových vzorců dostaneme obecně nezjednodušitelný součet třetích odmocnin komplexních čísel. Proveďte tedy goniometrický výpočet.

  • Odpověď

    Kubická rovnice

    \[x^3 - 19x - 30 = 0\]

    má tři různé reálné kořeny (casus irreducibilis)

    \[x_1 =5,\qquad x_2=-3,\qquad x_3=-2,\]

    Tyto kořeny jsme jsme určili goniometricky.

    Kořeny jako nulové body grafu příslušné kubické funkce:

    graf funkce a nulové body
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze