Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Kubická rovnice II.

Úloha číslo: 1610

Je dána kubická rovnice

\[x^3 + 3x^2 - 54 = 0.\]

Určete její kořeny.

  • Teorie

    Před řešením úlohy je dobré mít propočítané tyto příklady:

  • Nápověda 1 – převedení do redukovaného tvaru

    Vhodnou substitucí převeďte rovnici do redukovaného tvaru, tj. „zbavte“ se kvadratického členu.

  • Nápověda 2 – hledání kořenů

    Pomocí Cardanových vzorců nalezněte řešení redukované kubické rovnice.

    Cardanovy vzorce:

    \[ \begin{eqnarray} y_1 &=& u + v, \\ y_2 &=& \varepsilon u + \varepsilon^2 v, \\ y_3 &=& \varepsilon^2 u + \varepsilon v, \end{eqnarray} \] \[\small\text{kde }\quad u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}, \qquad v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}},\] \[ \text{a }\quad\small\varepsilon = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i. \]
  • Nápověda 3 – návrat k substituci

    V minulé sekci jsme našli kořeny

    \[ y_1 = 4, \qquad y_2 = -2 + 3i, \qquad y_3 = -2 - 3i. \]

    To jsou ale kořeny redukované kubické rovnice. Nalezněte kořeny zadané kubické rovnice. Vraťte se k příslušnému substitučnímu vztahu.

  • Odpověď

    Kubická rovnice \[x^3 + 3x^2 - 54 = 0\] má jeden kořen reálný a dvojici komplexních kořenů \[ x_1 = 3, \qquad x_2 = -3 + 3i, \qquad x_3 = -3 - 3i. \] Kořeny jsou nulové body kubické funkce tohoto typu
    Grafické znázornění řešení
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze