Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Řetězový zlomek zlatého čísla

Úloha číslo: 1604

Rozveďte v řetězový zlomek číslo

\[ \frac{1}{2}\left(a + \sqrt{a^2 + 4}\right). \]

Pomocí tohoto řetězového zlomku pak nalezněte zlomek, který aproximuje tzv. zlaté číslo \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) s přesností na 4 desetinná místa. Hodnoty příslušných částí řetězových zlomků porovnávejte s kalkulačkou.

Úloha vzorově řeší příklad ze cvičení předmětu Základy aritmetiky a algebry I.

  • Co je řetězový zlomek?

    Řetězovým zlomkem čísla \(x\) rozumíme výraz typu

    \[ \begin{equation} x= x_0 + \cfrac{1}{x_1 + \cfrac{1}{x_2 + \cfrac{1}{x_3 + \cfrac{1}{\ddots+\frac{1}{x_n} } } } } \end{equation}, \quad\text{kde } \begin{array}{l} x_0\in\mathbb{Z},\\ x_i \in \mathbb{N}, ~ i\in\lbrace 1,\ldots,n \rbrace. \end{array} \]

    Právě byl představen konečný řetězový zlomek. Zkráceně jej zapisujeme

    \[ x = [x_0;x_1,x_2,\ldots,x_n]. \]

    Lze uvažovat (nekonečnou) posloupnost konečných řetězových zlomků – vždy přidáme další člen \(x_n\). Tuto posloupnost nazýváme nekonečným řetězovým zlomkem a zkráceně zapisujeme

    \[ x = [x_0;x_1,x_2,x_3,\ldots]. \]

    Řetězové zlomky reprezentují nějaké číslo \(x\), viz další tvrzení.


    Pro (ne)periodičnost a (ne)konečnost řetězových zlomků reálných čísel platí:

    \[\small \text{Pro }x\in \left\{ \begin{array}{c} \mathbb{Q} \\ \mathbb{K} \\ \mathbb{R} \setminus \left( \mathbb{K} \cup \mathbb{Q}\right) \end{array} \right\} \text{existuje} \left\{ \begin{array}{l} \text{konečný} \\ \text{nekonečný, periodický} \\ \text{nekonečný, neperiodický} \end{array} \right\} \begin{array}{c} \text{řetězový zlomek.}\\ \end{array} \]

    Množina \(\mathbb{K}\) značí tzv. kvadratické iracionality – čísla tvaru \(\frac{p\pm\sqrt{n}}{q}\), kde \(p,q\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}, \sqrt{n} \not\in \mathbb{Q}.\)

  • Nápověda 1 – řetězový zlomek

    Rozveďte číslo \(\small\frac{1}{2}(a + \sqrt{a^2 + 4})\) v řetězový zlomek. Jde zjevně o kvadratickou iracionalitu, takže usilujte o nekonečný periodický řetězový zlomek.

  • Nápověda 2 – aproximace zlatého čísla

    Na základě nalezeného obecného řetězového zlomku určete řetězový zlomek zlatého čísla \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Následně hledejte konečné řetězové zlomky s minimálním počtem členů, potřebné k aproximaci s přesností na čtyři desetinná místa. Hodnoty řetězových zlomků porovnávejte s kalkulačkou.

  • Odpověď

    Řetězový zlomek čísla \(\small\frac{1}{2}(a + \sqrt{a^2 + 4})\) je

    \[a+\cfrac{1}{a+\cfrac{1}{a+\cfrac{1}{\ddots}}} = \left[a;a,a,\ldots \right] = \left[a;\overline{a}\right].\]

    Racionální aproximace zlatého čísla \(\small\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) s přesností na čtyři desetinná místa

    \[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} ~\approx~ \left[ 1;1{},1{},1{},1{},1{},1{},1{},1{},1{},1{},1{},1 \right] = \frac{377}{233}. \]
  • Komentář: Co je zlaté číslo?

    Říkáme, že úsečka
    úsečka rozdělená ve zlatém řezu

    je rozdělena v poměru zlatého řezu, jestliže platí

    \[ a:x = x:(a-x), \tag{1}\]

    tedy jestliže „celá k delší se má jako delší ke kratší“.

    Poměr \(a:x\) pak nazveme zlatým číslem.

    Označíme-li \(\varphi=\frac{a}{x}\), pak z podmínky (1) máme \[ \varphi = \frac{x}{\varphi x - x} \quad \Rightarrow \quad \varphi = \frac{1}{\varphi - 1}, \] což je kvadratická rovnice \[ \varphi^2 - \varphi - 1 = 0, \] přičemž pouze její kladný kořen \[ \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \] má geometrický význam a představuje hledané zlaté číslo.

    Se zlatým řezem se pojí některé zajímavostí. Pro ilustraci uveďme následující: máme-li výkres se stranami \(a,x\) v poměru zlatého řezu a odřízneme-li z něj čtverec o straně \(x\), zůstane opět výkres se stranami v poměru zlatého řezu. Takto lze samozřejmě odřezávat i dále.

    výkres se stranami ve zlatém řezu
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze