Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Řetězový zlomek √2, √5

Úloha číslo: 1602

Rozveďte v řetězový zlomek číslo

\[ \sqrt{a^2 + 1}. \]

Pomocí tohoto řetězového zlomku pak nalezněte zlomky, které aproximují čísla \(\sqrt{2}\) a \(\sqrt{5}\) s přesností na 4 desetinná místa. Hodnoty příslušných částí řetězových zlomků porovnávejte s kalkulačkou.

Úloha vzorově řeší příklad ze cvičení předmětu Základy aritmetiky a algebry I.

  • Co je řetězový zlomek?

    Řetězovým zlomkem čísla \(x\) rozumíme výraz typu

    \[ \begin{equation} x= x_0 + \cfrac{1}{x_1 + \cfrac{1}{x_2 + \cfrac{1}{x_3 + \cfrac{1}{\ddots+\frac{1}{x_n} } } } } \end{equation}, \quad\text{kde } \begin{array}{l} x_0\in\mathbb{Z},\\ x_i \in \mathbb{N}, ~ i\in\lbrace 1,\ldots,n \rbrace. \end{array} \]

    Právě byl představen konečný řetězový zlomek. Zkráceně jej zapisujeme

    \[ x = [x_0;x_1,x_2,\ldots,x_n]. \]

    Lze uvažovat (nekonečnou) posloupnost konečných řetězových zlomků – vždy přidáme další člen \(x_n\). Tuto posloupnost nazýváme nekonečným řetězovým zlomkem a zkráceně zapisujeme

    \[ x = [x_0;x_1,x_2,x_3,\ldots]. \]

    Řetězové zlomky reprezentují nějaké číslo \(x\), viz další tvrzení.


    Pro (ne)periodičnost a (ne)konečnost řetězových zlomků reálných čísel platí:

    \[\small \text{Pro }x\in \left\{ \begin{array}{c} \mathbb{Q} \\ \mathbb{K} \\ \mathbb{R} \setminus \left( \mathbb{K} \cup \mathbb{Q}\right) \end{array} \right\} \text{existuje} \left\{ \begin{array}{l} \text{konečný} \\ \text{nekonečný, periodický} \\ \text{nekonečný, neperiodický} \end{array} \right\} \begin{array}{c} \text{řetězový zlomek.}\\ \end{array} \]

    Množina \(\mathbb{K}\) značí tzv. kvadratické iracionality – čísla tvaru \(\frac{p\pm\sqrt{n}}{q}\), kde \(p,q\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}, \sqrt{n} \not\in \mathbb{Q}.\)

  • Nápověda 1 – řetězový zlomek

    Rozveďte číslo \(\sqrt{a^2+1}\) v řetězový zlomek. Jde zjevně o kvadratickou iracionalitu, takže usilujte o nekonečný periodický řetězový zlomek.

  • Nápověda 2 – aproximace √2, √5

    Na základě nalezeného obecného řetězového zlomku určete řetězové zlomky čísel \(\sqrt{2}, \sqrt{5}\). Následně hledejte konečné řetězové zlomky s minimálním počtem členů, potřebné k aproximaci s přesností na čtyři desetinná místa. Hodnoty řetězových zlomků porovnávejte s kalkulačkou.

  • Odpověď

    Řetězový zlomek čísla \(\sqrt{a^2+1}\) je

    \[a+ \cfrac{1}{2a + \cfrac{1}{2a + \cfrac{1}{2a + \cfrac{1}{\ddots } } } } = \left[a;2a,2a,2a,\ldots \right] = \left[a;\overline{2a}\right].\]

    Racionální aproximace čísel \(\sqrt{2}\) a \(\sqrt{5}\) s přesností na čtyři desetinná místa

    \[ \sqrt{2} ~\approx~ \left[ 1;2{},2{},2{},2{},2{},2 \right] = \frac{239}{169}, \] \[ \sqrt{5} ~\approx~ \left[2;4{},4{},4{},4 \right] = \frac{682}{305}. \]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze