Sbírka řešených úloh

Řetězový zlomek √2, √5

Úloha číslo: 1602

• Co je řetězový zlomek?

  Řetězovým zlomkem čísla \(x\) rozumíme výraz typu

  \[ \begin{equation} x= x_0 + \cfrac{1}{x_1 + \cfrac{1}{x_2 + \cfrac{1}{x_3 + \cfrac{1}{\ddots+\frac{1}{x_n} } } } } \end{equation}, \quad\text{kde } \begin{array}{l} x_0\in\mathbb{Z},\\ x_i \in \mathbb{N}, ~ i\in\lbrace 1,\ldots,n \rbrace. \end{array} \]

  Právě byl představen konečný řetězový zlomek. Zkráceně jej zapisujeme

  \[ x = [x_0;x_1,x_2,\ldots,x_n]. \]

  Lze uvažovat (nekonečnou) posloupnost konečných řetězových zlomků – vždy přidáme další člen \(x_n\). Tuto posloupnost nazýváme nekonečným řetězovým zlomkem a zkráceně zapisujeme

  \[ x = [x_0;x_1,x_2,x_3,\ldots]. \]

  Řetězové zlomky reprezentují nějaké číslo \(x\), viz další tvrzení.

  ---

  Pro (ne)periodičnost a (ne)konečnost řetězových zlomků reálných čísel platí:

  \[\small \text{Pro }x\in \left\{ \begin{array}{c} \mathbb{Q} \\ \mathbb{K} \\ \mathbb{R} \setminus \left( \mathbb{K} \cup \mathbb{Q}\right) \end{array} \right\} \text{existuje} \left\{ \begin{array}{l} \text{konečný} \\ \text{nekonečný, periodický} \\ \text{nekonečný, neperiodický} \end{array} \right\} \begin{array}{c} \text{řetězový zlomek.}\\ \end{array} \]

  Množina \(\mathbb{K}\) značí tzv. kvadratické iracionality – čísla tvaru \(\frac{p\pm\sqrt{n}}{q}\), kde \(p,q\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}, \sqrt{n} \not\in \mathbb{Q}.\)

• Nápověda 1 – řetězový zlomek

  Rozveďte číslo \(\sqrt{a^2+1}\) v řetězový zlomek. Jde zjevně o kvadratickou iracionalitu, takže usilujte o nekonečný periodický řetězový zlomek.

• Řešení nápovědy 1 – řetězový zlomek

  Provádějme úpravy, které povedou na tvar řetězového zlomku.

  Zřejmě by bylo dobré mít první člen řetězového zlomku \(a\), neboť to je dobré první přiblížení čísla \(\sqrt{a^2 + 1}\). Tedy

  \[ \sqrt{a^2 + 1} = a + \sqrt{a^2 + 1} - a = a + \cfrac{1}{\color{maroon}{\frac{1}{\sqrt{a^2 + 1} - a}}} \overset{\text{ozn.}}{=} a+\frac{1}{\color{maroon}{\gamma}}. \]

  Pokusme se nyní přetvořit výraz označený \(\gamma\) do podoby řetězového zlomku a to tak, aby v upraveném výrazu vzniklo opět \(\gamma\), tj.

  \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}-a} \cdot \frac{\sqrt{a^2 + 1}+a}{\sqrt{a^2 + 1}+a} = \frac{\sqrt{a^2 + 1}\color{blue}{+a}}{1} = \] \[ =\color{blue}{2a} + \underbrace{\sqrt{a^2 + 1}\color{blue}{-a}}_{1/\gamma} = 2a + \frac{1}{\gamma}. \]

  Máme tedy vztah

  \[ \gamma = 2a + \frac{1}{\gamma}, \]

  jehož opakovanou aplikací „nagenerujeme“ celý řetězový zlomek

  \[ \sqrt{a^2 + 1} = a + \frac{1}{\gamma} = a+\cfrac{1}{2a + \cfrac{1}{\gamma }} = a+\cfrac{1}{2a + \cfrac{1}{ 2a + \cfrac{1}{\gamma}}} = \] \[ =a+ \cfrac{1}{2a + \cfrac{1}{2a + \cfrac{1}{2a + \cfrac{1}{\ddots } } } } = \left[a;2a,2a,2a,\ldots \right] = \left[a;\overline{2a}\right]. \]

  \(\left[a;\overline{2a}\right]\) je hledaný nekonečný periodický řetězový zlomek čísla \(\sqrt{a^2 + 1}\).

• Nápověda 2 – aproximace √2, √5

  Na základě nalezeného obecného řetězového zlomku určete řetězové zlomky čísel \(\sqrt{2}, \sqrt{5}\). Následně hledejte konečné řetězové zlomky s minimálním počtem členů, potřebné k aproximaci s přesností na čtyři desetinná místa. Hodnoty řetězových zlomků porovnávejte s kalkulačkou.

• Řešení nápovědy 2 – aproximace √2

  Řetězový zlomek čísla \(\sqrt{2}\) dostaneme dosazením \(a=1\)

  \[ \sqrt{1^2 + 1}=\sqrt{2}=1+ \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots } } } } = \left[1;2,{}2,{}2,\ldots \right] = \left[1;\overline{2}\right]. \]

  Berme postupně konečné řetězové zlomky s jedním, dvěma, třemi atd. členy a jejich hodnoty porovnávejme s „kalkulačkovou“ hodnotou.

  \[ \begin{array}{r|ll} \text{Řetězový zlomek} & \text{hodnota} & \text{kalkulačka}\\ 1 = \frac{1}{1} & 1 & 1{,}41421 \\ 1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2} & 1{,}5 & 1{,}41421 \\ 1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2}} = \frac{7}{5} & 1{,}4 & 1{,}41421 \\ 1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2}}} = \frac{17}{12} & 1{,}41667 & 1{,}41421 \\ 1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2}}}} = \frac{41}{29} & 1{,}41379 & 1{,}41421 \\ 1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2}}}}} = \frac{99}{70} & 1{,}41429 & 1{,}41421 \\ 1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2}}}}}}=\frac{239}{169} & \color{maroon}{1{,}4142}0 & \color{maroon}{1{,}4142}1 \\ \end{array} \]

  Reálné číslo \(\sqrt{2}\) lze aproximovat zlomkem \(\left[ 1;2{},2{},2{},2{},2{},2 \right] = \frac{239}{169}\). Hodnotu odmocniny dostaneme s přesností na čtyři desetinná místa.

• Řešení nápovědy 2 – aproximace √5

  Řetězový zlomek čísla \(\sqrt{5}\) dostaneme dosazením \(a=2\)

  \[ \sqrt{2^2+1} = \sqrt{5}=2+ \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{\ddots } } } } = \left[2;4,{}4,{}4,\ldots \right] = \left[2;\overline{4}\right]. \]

  Berme postupně konečné řetězové zlomky s jedním, dvěma, třema atd. členy a jejich hodnoty porovnávejme s „kalkulačkovou“ hodnotou.

  \[ \begin{array}{r|ll} \text{Řetězový zlomek} & \text{hodnota} & \text{kalkulačka}\\ 2=\frac{2}{1} & 2 & 2{,}23606 \\ 2+\frac{1}{4} = \frac{9}{4} & 2{,}25 & 2{,}23606 \\ 2+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4}} = \frac{38}{17} & 2{,}23529 & 2{,}23606 \\ 2+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4}}} = \frac{161}{72} & 2{,}23611 & 2{,}23606 \\ 2+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4}}}} = \frac{682}{305} & \color{maroon}{2{,}2360}7 & \color{maroon}{2{,}2360}6 \end{array} \]

  Reálné číslo \(\sqrt{5}\) lze aproximovat zlomkem \(\left[2;4{},4{},4{},4 \right] = \frac{682}{305}\). Hodnotu odmocniny dostaneme s přesností na čtyři desetinná místa.

• Odpověď

  Řetězový zlomek čísla \(\sqrt{a^2+1}\) je

  \[a+ \cfrac{1}{2a + \cfrac{1}{2a + \cfrac{1}{2a + \cfrac{1}{\ddots } } } } = \left[a;2a,2a,2a,\ldots \right] = \left[a;\overline{2a}\right].\]

  Racionální aproximace čísel \(\sqrt{2}\) a \(\sqrt{5}\) s přesností na čtyři desetinná místa

  \[ \sqrt{2} ~\approx~ \left[ 1;2{},2{},2{},2{},2{},2 \right] = \frac{239}{169}, \] \[ \sqrt{5} ~\approx~ \left[2;4{},4{},4{},4 \right] = \frac{682}{305}. \]