Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Cardanovy vzorce

Úloha číslo: 1607

Odvoďte vzorce pro výpočet kořenů rovnice třetího stupně (kubické rovnice) \[ a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3 = 0, \quad a_i\in\mathbb{C},\quad a_0 \neq 0 \] \[ x_{1{,}2,3}=\,? \]

Odvození používá značení podle přednášky ze Základů aritmetiky a algebry II.

  • Nápověda 1 – normování

    První zjednodušení lze provést zbavením se koeficientu u vedoucího členu.

  • Nápověda 2 – zbavení se kvadratického členu

    Vhodnou substitucí za neznámou \(x\) se lze zbavit kvadratického členu. Napadává vás jakou?

  • Nápověda 3 – řešení redukovaného tvaru

    Řešení kubické rovnice \(y^3 + py + q = 0\) lze hledat ve tvaru součtu čísel \(u,v\). \[y = u+v\] Hledáme-li kořen jako součet dvou čísel \(u,v\), budeme na ně klást nějakou podmínku. Při výpočtu uvidíte, že bude vhodné volit \(uv = -\frac{p}{3}\).
  • Nápověda 4 – další řešení

    Zajímají nás zbylá dvě řešení. Hledáme tedy další dvě dvojice \(u,v\) takové, že

    \[uv=-\frac{p}{3}.\]

    Při odmocňování čísel

    \[ \begin{eqnarray} u^3 &=& -\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}, \\ v^3 &=& -\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}, \end{eqnarray} \]

    jsme uvažovali pouze jedno řešení, v oboru \(\mathbb{C}\) jich je ale více.

  • Závěr

    Řešení kubické rovnice \[a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3 = 0\] získáme tak, že ji znormujeme a substitucí převedeme do redukovaného tvaru \[y^3 + py + q = 0.\] Řešení této rovnice můžeme získat z Cardanových vzorců \[ \begin{eqnarray} y_1 &=& u + v, \\ y_2 &=& \varepsilon u + \varepsilon^2 v, \\ y_3 &=& \varepsilon^2 u + \varepsilon v, \end{eqnarray} \] \[\small\text{kde }\quad u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}, \qquad v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}},\] \[ \text{a }\quad\small\varepsilon = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i. \] Řešení původní rovnice získáme ze substitučního vztahu \[ x = y - \frac{b_1}{3} = y - \frac{a_1}{3a_0}. \]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze