Sbírka řešených úloh

Cardanovy vzorce

Úloha číslo: 1607

• Nápověda 1 – normování

  První zjednodušení lze provést zbavením se koeficientu u vedoucího členu.

• Řešení nápovědy 1 – normování

  Obecnou rovnici třetího stupně \[ a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3 = 0 \]

  vydělíme \(a_0\neq 0\)

  \[ x^3 + \frac{a_1}{a_0}x^2 + \frac{a_2}{a_0}x + \frac{a_3}{a_0} = 0 \] a přeznačením koeficientů získáme normovanou kubickou rovnici \[ x^3 + b_1 x^2 + b_2 x + b_3 = 0. \]

• Nápověda 2 – zbavení se kvadratického členu

  Vhodnou substitucí za neznámou \(x\) se lze zbavit kvadratického členu. Napadává vás jakou?

• Řešení nápovědy 2 – zbavení se kvadratického členu

  Máme rovnici

  \[ x^3 + b_1 x^2 + b_2 x + b_3 = 0. \]

  Zavedeme substituci vztahem \(x = y - \frac{b_1}{3}\) a její mocniny

  \[ \begin{eqnarray} x &=& y - \frac{b_1}{3}, \\ x^2 &=& \left(y - \frac{b_1}{3}\right)^2 = y^2 - \frac{2}{3}yb_1 + \frac{b_1^2}{9}, \\ x^3 &=& \left(y - \frac{b_1}{3}\right)^3 = y^3 - y^2 b_1 + \frac{1}{3}yb_1^2 - \frac{b_1^3}{27}, \end{eqnarray} \]

  dosadíme

  \[x^3 + b_1 x^2 + b_2 x + b_3 = 0,\] \[ y^3 \color{blue}{-y^2 b_1} + \frac{1}{3}yb_1^2 - \frac{b_1^3}{27} \color{blue}{+ y^2 b_1} - \frac{2}{3}yb_1^2 + \frac{b_1^3}{9} + b_2 y - \frac{b_1b_2}{3} + b_3 = 0. \] Po úpravě máme \[ y^3 + \big(\underbrace{b_2 - \frac{1}{3}b_1^2 }_{p}\big) y + \underbrace{\frac{2}{27}b_1^3 - \frac{b_1b_2}{3} + b_3}_{q} = 0. \] Zavedením nových koeficientů získáme \[ y^3 + py + q = 0 \] což je kubická rovnice v redukovaném tvaru (tj. bez kvadratického členu).

• Nápověda 3 – řešení redukovaného tvaru

  Řešení kubické rovnice \(y^3 + py + q = 0\) lze hledat ve tvaru součtu čísel \(u,v\). \[y = u+v\] Hledáme-li kořen jako součet dvou čísel \(u,v\), budeme na ně klást nějakou podmínku. Při výpočtu uvidíte, že bude vhodné volit \(uv = -\frac{p}{3}\).

• Řešení nápovědy 3 – řešení redukovaného tvaru

  Uvažujme řešení kubické rovnice \(y^3 + py + q = 0\) ve tvaru

  \[u+v=y.\]

  Dosaďme a upravme

  \[ \begin{eqnarray} u^3 + 3u^2v+3uv^2 + v^3 + pu + pv + q &=& 0, \\ u^3 + v^3 + u(3uv + p) + v(3uv + p) + q &=& 0, \\ u^3 + v^3 + (u+v)\color{maroon}{(3uv + p)} + q &=& 0. \end{eqnarray} \]

  Zvolme si podmínku, že \(x\) bude z \(u,v\) „namícháno“ tak, že

  \[ \color{maroon}{3uv + p} = 0,\qquad\text{ tj. } uv=-\frac{p}{3}. \tag{1}\]

  Za této podmínky dostáváme

  \[ u^3 + v^3 = -q. \tag{2}\]

  Umocníme-li (1) na třetí a přídáme-li k ní rovnici (2), máme soustavu

  \[ \begin{eqnarray} u^3v^3 &=& -\left(\frac{p}{3}\right)^3 \\ u^3 + v^3 &=& -q \end{eqnarray} \]

  která nápadně připomíná Vietovy vztahy. Čísla \(u^3, v^3\) jsou tedy kořeny kvadratické rovnice

  \[ z^2 + qz - \left(\frac{p}{3}\right)^3 = 0 \] a lze je tedy vypočítat pomocí vztahu pro kořeny kvadratické rovnice \[ \begin{eqnarray} z_1 = u^3 &=& \frac{-q + \sqrt{q^2 + 4\left(\frac{p}{3}\right)^3}}{2} = -\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}, \\ z_2 = v^3 &=& \frac{-q - \sqrt{q^2 + 4\left(\frac{p}{3}\right)^3}}{2} = -\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}. \end{eqnarray} \] Samotná \(u,v\) dostaneme odmocněním \[ u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}, \quad v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}. \] První kořen je jejich součtem \[ y_1 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}. \]

  Jak dostaneme další kořeny? To je obsahem další sekce!

• Nápověda 4 – další řešení

  Zajímají nás zbylá dvě řešení. Hledáme tedy další dvě dvojice \(u,v\) takové, že

  \[uv=-\frac{p}{3}.\]

  Při odmocňování čísel

  \[ \begin{eqnarray} u^3 &=& -\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}, \\ v^3 &=& -\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}, \end{eqnarray} \]

  jsme uvažovali pouze jedno řešení, v oboru \(\mathbb{C}\) jich je ale více.

• Řešení nápovědy 4 – další řešení

  Odmocněním výrazů

  \[ u^3 -\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}, \qquad v^3 -\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}, \]

  získáme kromě dříve uvažovaných řešení

  \[ u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}, \qquad v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} \]

  také další řešení

  \[ u_1 = \varepsilon u, \qquad u_2 = \varepsilon^2 u, \] \[ v_1 = \varepsilon v, \qquad v_2 = \varepsilon^2 v, \] kde \(\varepsilon = \sqrt[3]{1} =- \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\) je třetí odmocnina z \(1\) v komplexním oboru.

  Tato řešení je třeba nakombinovat do součtu tak, aby byla splněna podmínka

  \[uv=-\frac{p}{3}.\]

  Snadno zjistíme, že máme pouze dvě možnosti.

  \[ \begin{eqnarray} uv &=&-\frac{p}{3} \qquad | \cdot \varepsilon^3=1 \\ \varepsilon^3 uv &=& -\frac{p}{3} \\ \text{1. možnost:}\quad \underbrace{\varepsilon u}_{u_1} \underbrace{\varepsilon^2 v}_{v_2} &=& -\frac{p}{3} \\ \text{2. možnost:}\quad \underbrace{\varepsilon^2 u}_{u_2} \underbrace{\varepsilon v}_{v_1} &=& -\frac{p}{3} \end{eqnarray} \]

  Máme tedy tři řešení

  \[ \begin{eqnarray} \text{Hlavní řešení:}\qquad y_1 &=& u + v, \\ \text{1. možnost:}\qquad y_2 &=& \varepsilon u + \varepsilon^2 v, \\ \text{2. možnost:}\qquad y_3 &=& \varepsilon^2 u + \varepsilon v, \end{eqnarray} \]

  kde \(\small\varepsilon = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\) a \(u,v\) jsou příslušné třetí odmocniny.

• Závěr

  Řešení kubické rovnice \[a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3 = 0\] získáme tak, že ji znormujeme a substitucí převedeme do redukovaného tvaru \[y^3 + py + q = 0.\] Řešení této rovnice můžeme získat z Cardanových vzorců \[ \begin{eqnarray} y_1 &=& u + v, \\ y_2 &=& \varepsilon u + \varepsilon^2 v, \\ y_3 &=& \varepsilon^2 u + \varepsilon v, \end{eqnarray} \] \[\small\text{kde }\quad u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}, \qquad v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}},\] \[ \text{a }\quad\small\varepsilon = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i. \] Řešení původní rovnice získáme ze substitučního vztahu \[ x = y - \frac{b_1}{3} = y - \frac{a_1}{3a_0}. \]