Sbírka řešených úloh

Aritmetický, geometrický a harmonický průměr

Úloha číslo: 1600

• a) Nápověda – výpočet průměrů

  Napište vyjádření aritmetického, geometrického a harmonického průměru dvou čísel.

• a) Řešení nápovědy – výpočet průměrů

  Aritmetický průměr dvou čísel získáme tak, že jejich součet vydělíme dvěma:

  \[ AP(a,b) = \frac{a+b}{2}. \]

  Geometrický průměr dvou čísel získáme tak, že jejich součin odmocníme:

  \[ GP(a,b) = \sqrt{ab}. \]

  Harmonický průměr získáme jako převrácenou hodnotu aritmetického průměru jejich převrácených hodnot:

  \[ HP(a,b) = \frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}} = \frac{2ab}{a+b}. \]

• b) Nápověda – souvislost s posloupnostmi

  Ukažte rovnosti

  • \(AP(a_{n-1},a_{n+1}) = a_n\), kde \(\lbrace a_n \rbrace_{n=1}^\infty\) je aritmetická posloupnost,

  • \(GP(b_{n-1},b_{n+1}) = b_n\), kde \(\lbrace b_n \rbrace_{n=1}^\infty\) je geometrická posloupnost,

  • \(HP(c_{n-1},c_{n+1}) = c_n\), kde \(\lbrace c_n \rbrace_{n=1}^\infty\) je harmonická posloupnost.

  ---

  Harmonická posloupnost \(\lbrace c_n \rbrace_{n=1}^\infty\) má obecně \(n\)-tý člen \[ c_n = \frac{1}{a+bn}, \] kde \(a,b\in\mathbb{R}\) a \(b\neq 0\).

• b) Řešení nápovědy – souvislost s posloupnostmi

  • Ukažme, že \(AP(a_{n-1},a_{n+1}) = a_n\), kde \(\lbrace a_n \rbrace_{n=1}^\infty\) je aritmetická posloupnost.

  \[ AP(a_{n-1},a_{n+1}) = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} = \frac{a_n - d + a_n + d}{2} = a_n. \]

  • Ukažme, že \(GP(b_{n-1},b_{n+1}) = b_n\), kde \(\lbrace b_n \rbrace_{n=1}^\infty\) je geometrická posloupnost.

  \[ GP(b_{n-1},b_{n+1}) = \sqrt{b_{n-1} b_{n+1}} =\sqrt{\frac{b_n}{q} b_n q} = \sqrt{b_n^2} = |b_n| = b_n.\]

  • Ukažme, že \(HP(c_{n-1},c_{n+1}) = c_n\), kde \(\lbrace c_n \rbrace_{n=1}^\infty\) je harmonická posloupnost.

  \[ HP(c_{n-1},c_{n+1}) = \frac{2c_{n-1} c_{n+1}}{c_{n-1}+ c_{n+1}}= \frac{2\frac{1}{a+b(n-1)}\frac{1}{a+b(n+1)}}{\frac{1}{a+b(n-1)}+\frac{1}{a+b(n+1)}}= \] \[ =\frac{2}{a+bn+b+a+bn-b} = \frac{1}{a+bn} = c_n. \]

  Vidíme, že názvy uvedených průměrů nejsou vůbec „bezdůvodné“..

• c) Nápověda – průměry n čísel

  Proveďte zobecnění všech třech uvedených průměrů na \(n\) čísel \(a_1,\ldots,a_n\).

• c) Řešení nápovědy – průměry n čísel

  Aritmetický průměr \(n\) čísel získáme tak, že jejich součet vydělíme jejich počtem:

  \[ AP(a_1,\ldots,a_n) = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i. \]

  Geometrický průměr získáme jako \(n\)-tou odmocninu jejich součinu:

  \[ GP(a_1,\ldots,a_n) = \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}. \]

  Harmonický průměr získáme jako převrácenou hodnotu aritmetického průměru jejich převrácených hodnot:

  \[ HP(a_1,\ldots,a_n) = \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}}. \]

• Odpověď

  a) Průměry dvou veličin

  \[ AP(a,b) = \frac{a+b}{2}, \] \[ GP(a,b) = \sqrt{ab}, \] \[ HP(a,b) = \frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}} = \frac{2ab}{a+b}. \]

  b) Ano, platí.

  c) Průměry \(n\) veličin

  \[ AP(a_1,\ldots,a_n) = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i, \] \[ GP(a_1,\ldots,a_n) = \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}, \] \[ HP(a_1,\ldots,a_n) = \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}}. \]