Sbírka řešených úloh

Aritmetický, geometrický a harmonický průměr

Úloha číslo: 1600

• a) Nápověda – výpočet průměrů

  Napište vyjádření aritmetického, geometrického a harmonického průměru dvou čísel.

• a) Řešení nápovědy – výpočet průměrů

  Aritmetický průměr dvou čísel získáme tak, že jejich součet vydělíme dvěma:

  $$AP(a,b) = \frac{a+b}{2}.$$

  Geometrický průměr dvou čísel získáme tak, že jejich součin odmocníme:

  $$GP(a,b) = \sqrt{ab}.$$

  Harmonický průměr získáme jako převrácenou hodnotu aritmetického průměru jejich převrácených hodnot:

  $$HP(a,b) = \frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}} = \frac{2ab}{a+b}.$$

• b) Nápověda – souvislost s posloupnostmi

  Ukažte rovnosti

  • $AP(a_{n-1},a_{n+1}) = a_n$, kde $\lbrace a_n \rbrace_{n=1}^\infty$ je aritmetická posloupnost,

  • $GP(b_{n-1},b_{n+1}) = b_n$, kde $\lbrace b_n \rbrace_{n=1}^\infty$ je geometrická posloupnost,

  • $HP(c_{n-1},c_{n+1}) = c_n$, kde $\lbrace c_n \rbrace_{n=1}^\infty$ je harmonická posloupnost.

  ---

  Harmonická posloupnost $\lbrace c_n \rbrace_{n=1}^\infty$ má obecně $n$-tý člen $$c_n = \frac{1}{a+bn},$$ kde $a,b\in\mathbb{R}$ a $b\neq 0$.

• b) Řešení nápovědy – souvislost s posloupnostmi

  • Ukažme, že $AP(a_{n-1},a_{n+1}) = a_n$, kde $\lbrace a_n \rbrace_{n=1}^\infty$ je aritmetická posloupnost.

  $$AP(a_{n-1},a_{n+1}) = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} = \frac{a_n - d + a_n + d}{2} = a_n.$$

  • Ukažme, že $GP(b_{n-1},b_{n+1}) = b_n$, kde $\lbrace b_n \rbrace_{n=1}^\infty$ je geometrická posloupnost.

  $$GP(b_{n-1},b_{n+1}) = \sqrt{b_{n-1} b_{n+1}} =\sqrt{\frac{b_n}{q} b_n q} = \sqrt{b_n^2} = |b_n| = b_n.$$

  • Ukažme, že $HP(c_{n-1},c_{n+1}) = c_n$, kde $\lbrace c_n \rbrace_{n=1}^\infty$ je harmonická posloupnost.

  $$HP(c_{n-1},c_{n+1}) = \frac{2c_{n-1} c_{n+1}}{c_{n-1}+ c_{n+1}}= \frac{2\frac{1}{a+b(n-1)}\frac{1}{a+b(n+1)}}{\frac{1}{a+b(n-1)}+\frac{1}{a+b(n+1)}}=$$ $$=\frac{2}{a+bn+b+a+bn-b} = \frac{1}{a+bn} = c_n.$$

  Vidíme, že názvy uvedených průměrů nejsou vůbec „bezdůvodné“..

• c) Nápověda – průměry n čísel

  Proveďte zobecnění všech třech uvedených průměrů na $n$ čísel $a_1,\ldots,a_n$.

• c) Řešení nápovědy – průměry n čísel

  Aritmetický průměr $n$ čísel získáme tak, že jejich součet vydělíme jejich počtem:

  $$AP(a_1,\ldots,a_n) = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i.$$

  Geometrický průměr získáme jako $n$-tou odmocninu jejich součinu:

  $$GP(a_1,\ldots,a_n) = \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}.$$

  Harmonický průměr získáme jako převrácenou hodnotu aritmetického průměru jejich převrácených hodnot:

  $$HP(a_1,\ldots,a_n) = \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}}.$$

• Odpověď

  a) Průměry dvou veličin

  $$AP(a,b) = \frac{a+b}{2},$$ $$GP(a,b) = \sqrt{ab},$$ $$HP(a,b) = \frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}} = \frac{2ab}{a+b}.$$

  b) Ano, platí.

  c) Průměry $n$ veličin

  $$AP(a_1,\ldots,a_n) = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i,$$ $$GP(a_1,\ldots,a_n) = \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i},$$ $$HP(a_1,\ldots,a_n) = \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}}.$$