Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Aritmetický, geometrický a harmonický průměr

Úloha číslo: 1600

a) Uvažujte dvojici reálných čísel \(a,b \gt 0\). Jak se vypočítá jejich aritmetický, geometrický a harmonický průměr?

b) Ukažte (pro \(n\ne 1\)), že:

\[ n\text{-tý člen} \left\{ \begin{array}{l} \text{aritmetické} \\ \text{geometrické} \\ \text{harmonické} \end{array} \right\} \text{posloupnosti je} \left\{ \begin{array}{l} \text{aritmetickým} \\ \text{geometrickým} \\ \text{harmonickým} \end{array} \right\} \] \[ \text{průměrem předchozího a následujícího členu, tj. členů } a_{n-1}\text{ a }a_{n+1}. \]

c) Jak vypadá vztah pro aritmetický, geometrický a harmonický průměr \(n\) kladných čísel \(a_1,\ldots,a_n\)?

Úloha byla inspirována příklady ze cvičení předmětu Základy aritmetiky a algebry II.

  • a) Nápověda – výpočet průměrů

    Napište vyjádření aritmetického, geometrického a harmonického průměru dvou čísel.

  • b) Nápověda – souvislost s posloupnostmi

    Ukažte rovnosti

    • \(AP(a_{n-1},a_{n+1}) = a_n\), kde \(\lbrace a_n \rbrace_{n=1}^\infty\) je aritmetická posloupnost,
    • \(GP(b_{n-1},b_{n+1}) = b_n\), kde \(\lbrace b_n \rbrace_{n=1}^\infty\) je geometrická posloupnost,
    • \(HP(c_{n-1},c_{n+1}) = c_n\), kde \(\lbrace c_n \rbrace_{n=1}^\infty\) je harmonická posloupnost.

    Harmonická posloupnost \(\lbrace c_n \rbrace_{n=1}^\infty\) má obecně \(n\)-tý člen \[ c_n = \frac{1}{a+bn}, \] kde \(a,b\in\mathbb{R}\) a \(b\neq 0\).
  • c) Nápověda – průměry n čísel

    Proveďte zobecnění všech třech uvedených průměrů na \(n\) čísel \(a_1,\ldots,a_n\).

  • Odpověď

    a) Průměry dvou veličin

    \[ AP(a,b) = \frac{a+b}{2}, \] \[ GP(a,b) = \sqrt{ab}, \] \[ HP(a,b) = \frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}} = \frac{2ab}{a+b}. \]

    b) Ano, platí.

    c) Průměry \(n\) veličin

    \[ AP(a_1,\ldots,a_n) = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i, \] \[ GP(a_1,\ldots,a_n) = \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}, \] \[ HP(a_1,\ldots,a_n) = \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}}. \]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze