Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Počty reálných kořenů kubické rovnice

Úloha číslo: 1608

Uvažujte kubickou rovnici v redukovaném tvaru

\[y^3 + py + q = 0.\]

Proveďte diskusi o počtu reálných kořenů vzhledem ke koeficientům \(p,q\) a diskriminantu kubické rovnice \(D = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3\).

Úloha je vzorovým řešením příkladu ze cvičení předmětu Základy aritmetiky a algebry II.

  • Teorie

    Kořenům kubické rovnice se věnuje úloha Cardanovy vzorce.

  • Nápověda

    Uvažujte kubickou funkci \(f(x) = x^2 + px + q\) a nalezněte její maxima. Určete funkční hodnoty v těchto maximech a vypočtěte jejich součin. Proveďte diskuzi o počtu reálných kořenů, načrtněte ilustrační obrázky.

  • Odpověď

    Pro kubickou rovnici v redukovaném tvaru

    \[ x^3 + px + q = 0 \]

    jejímž diskriminantem rozumíme

    \[D = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3,\]

    můžou nastat následující možnosti:

    \[ \begin{array}{lll} p\gt 0 & q = 0 & \text{1 nulový reálný kořen,} \\ & q \gt 0 & \text{1 záporný reálný kořen,} \\ & q \lt 0 & \text{1 kladný reálný kořen,} \\ p\lt 0 & D \gt 0 & \text{1 reálný kořen,} \\ & D = 0 & \text{1 reálný jednoduchý, 1 reálný dvojnásobný kořen,} \\ & D \lt 0 & \text{3 různé reálné kořeny.} \end{array} \]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze