Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Obecné
«
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Počty reálných kořenů kubické rovnice

Úloha číslo: 1608

Uvažujte kubickou rovnici v redukovaném tvaru

y3+py+q=0.

Proveďte diskusi o počtu reálných kořenů vzhledem ke koeficientům p,q a diskriminantu kubické rovnice D=(q2)2+(p3)3.

Úloha je vzorovým řešením příkladu ze cvičení předmětu Základy aritmetiky a algebry II.

  • Teorie

    Kořenům kubické rovnice se věnuje úloha Cardanovy vzorce.

  • Nápověda

    Uvažujte kubickou funkci f(x)=x2+px+q a nalezněte její maxima. Určete funkční hodnoty v těchto maximech a vypočtěte jejich součin. Proveďte diskuzi o počtu reálných kořenů, načrtněte ilustrační obrázky.

  • Odpověď

    Pro kubickou rovnici v redukovaném tvaru

    x3+px+q=0

    jejímž diskriminantem rozumíme

    D=(q2)2+(p3)3,

    můžou nastat následující možnosti:

    p>0q=01 nulový reálný kořen,q>01 záporný reálný kořen,q<01 kladný reálný kořen,p<0D>01 reálný kořen,D=01 reálný jednoduchý, 1 reálný dvojnásobný kořen,D<03 různé reálné kořeny.
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze