Filtr seznamu úloh?
Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.
Škály
Úroveň náročnosti
Štítky
Obecné
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Počty reálných kořenů kubické rovnice
Úloha číslo: 1608
Uvažujte kubickou rovnici v redukovaném tvaru
y3+py+q=0.Proveďte diskusi o počtu reálných kořenů vzhledem ke koeficientům p,q a diskriminantu kubické rovnice D=(q2)2+(p3)3.
Úloha je vzorovým řešením příkladu ze cvičení předmětu Základy aritmetiky a algebry II.
Teorie
Kořenům kubické rovnice se věnuje úloha Cardanovy vzorce.
Nápověda
Uvažujte kubickou funkci f(x)=x2+px+q a nalezněte její maxima. Určete funkční hodnoty v těchto maximech a vypočtěte jejich součin. Proveďte diskuzi o počtu reálných kořenů, načrtněte ilustrační obrázky.
Odpověď
Pro kubickou rovnici v redukovaném tvaru
x3+px+q=0jejímž diskriminantem rozumíme
D=(q2)2+(p3)3,můžou nastat následující možnosti:
p>0q=01 nulový reálný kořen,q>01 záporný reálný kořen,q<01 kladný reálný kořen,p<0D>01 reálný kořen,D=01 reálný jednoduchý, 1 reálný dvojnásobný kořen,D<03 různé reálné kořeny.