Sbírka řešených úloh

Počty reálných kořenů kubické rovnice

Úloha číslo: 1608

• Teorie

  Kořenům kubické rovnice se věnuje úloha Cardanovy vzorce.

• Nápověda

  Uvažujte kubickou funkci $f(x) = x^2 + px + q$ a nalezněte její maxima. Určete funkční hodnoty v těchto maximech a vypočtěte jejich součin. Proveďte diskuzi o počtu reálných kořenů, načrtněte ilustrační obrázky.

• Řešení nápovědy

  Proveďme rozbor kubické funkce $f(x) = x^3 + px + q$.

  Hledejme extrémy $$f^\prime(x) = 3x^2 + p = 0 \quad \Rightarrow \quad x_{1{,}2}=\pm\sqrt{-\frac{p}{3}},$$ $$f^{\prime\prime}(x) = 6x = 0,$$ $$f^{\prime\prime\prime}(x) = 6 \neq 0.$$

  Rozlišíme dva případy

  $$\begin{array}{lll} \text{a) pro} & p \gt 0 & \text{není extrém;}~ f^\prime(x)\gt 0,\mathrm{tj.}~f \text{ je rostoucí} ,\\ \text{b) pro} & p \lt 0 & \text{dva extrémy};~\text{v }x_1\text{ minimum},\text{ v }x_2\text{ maximum}. \end{array}$$

  a) Případ $p\gt 0$: rostoucí na celém $\mathbb{R}$

  Funkce je rostoucí na celém $\mathbb{R}$ a je spojitá. Má tedy jeden reálný kořen. Ten je záporný pro $q\gt 0$, nulový pro $q= 0$ a kladný pro $q \lt 0$.

  

  b) Případ $p\lt 0$: dva extrémy

  Nejprve vypočítáme funkční hodnoty v extrémních bodech

  $$\begin{eqnarray} f(x_1) &=& \sqrt{\left(-\frac{p}{3}\right)^3} + p\sqrt{-\frac{p}{3}} + q = \sqrt{-\frac{p}{3}}\left(-\frac{p}{3} + p\right) + q,\\ f(x_2) &=& -\sqrt{\left(-\frac{p}{3}\right)^3} - p\sqrt{-\frac{p}{3}} + q = -\sqrt{-\frac{p}{3}}\left(-\frac{p}{3} + p\right) + q. \end{eqnarray}$$

  Určíme součin těchto funkčních hodnot

  $$f(x_1) f(x_2) = \left[ \sqrt{-\frac{p}{3}}\left(-\frac{p}{3} + p\right) + q\right] \left[ -\sqrt{-\frac{p}{3}}\left(-\frac{p}{3} + p\right) + q \right]=$$ $$= -\sqrt{-\frac{p}{3}} \sqrt{-\frac{p}{3}} p p \left(1 - \frac{1}{3}\right)^2 + 0 + 0 + q^2 =$$ $$=4\left(\frac{q}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{p}{3}\right)^3 = 4D.$$

  Co nám říká odvozený vztah $f(x_1)f(x_2) = 4D$ pro polohy extrémů a následně pro počty kořenů?

  • Bude-li $D\gt 0$, pak jsou funkční hodnoty obou extrémů buďto kladné nebo záporné. Kubická rovnice má jeden reálný kořen.

  

  • Bude-li $D = 0$, pak je funkční hodnota jednoho extrému nulová a druhého záporná nebo kladná. Kubická rovnice má jeden reálný jednoduchý a jeden reálný dvojnásobný kořen.

  

  • Bude-li $D \lt 0$, pak je funkční hodnota jednoho extrému kladná a druhého záporná. Kubická rovnice má tři různé reálné kořeny.

  

  Poslednímu případu, kdy $D\lt 0$, se říká casus irreducibilis, v překladu „nezjednodušitelný případ“. Při hledání kořenů se v Cardanových vzorcích objevují komplexní „nepřístojnosti“, ač je situace funkce v grafu velmi příznivá, vždyť má rovnice tři různé reálné kořeny.

• Odpověď

  Pro kubickou rovnici v redukovaném tvaru

  $$x^3 + px + q = 0$$

  jejímž diskriminantem rozumíme

  $$D = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3,$$

  můžou nastat následující možnosti:

  $$\begin{array}{lll} p\gt 0 & q = 0 & \text{1 nulový reálný kořen,} \\ & q \gt 0 & \text{1 záporný reálný kořen,} \\ & q \lt 0 & \text{1 kladný reálný kořen,} \\ p\lt 0 & D \gt 0 & \text{1 reálný kořen,} \\ & D = 0 & \text{1 reálný jednoduchý, 1 reálný dvojnásobný kořen,} \\ & D \lt 0 & \text{3 různé reálné kořeny.} \end{array}$$