Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Nerovnost mezi průměry

Úloha číslo: 1601

Ukažte, že mezi aritmetickým (AP), geometrickým (GP) a harmonickým (HP) průměrem dvou kladných reálných čísel \(a,b\) platí následující nerovnost \[ HP(a,b) ~\le~ GP(a,b) ~\le~ AP(a,b) \]
a) algebraicky,
b) graficky.

Úloha byla inspirována příklady ze cvičení předmětu Základy aritmetiky a algebry II.

  • Teorie: jak se počítají průměry

    Aritmetický průměr dvou čísel získáme tak, že jejich součet vydělíme dvěma:

    \[ AP(a,b) = \frac{a+b}{2}. \]

    Geometrický průměr dvou čísel získáme tak, že jejich součin odmocníme:

    \[ GP(a,b) = \sqrt{ab}. \]

    Harmonický průměr získáme jako převrácenou hodnotu aritmetického průměru jejich převrácených hodnot:

    \[ HP(a,b) = \frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}} = \frac{2ab}{a+b}. \]
  • a) Nápověda – algebraický důkaz

    Při dokazování nerovností je třeba vyjít z nějakého šikovného pravdivého tvrzení. Prozraďme, že k cíli snadno vedoucí bude nerovnost \[ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0, \] která je jistě splněna pro všechna námi uvažovaná \(a,b\).
  • b) Nápověda – grafický důkaz

    Nalezněte jednotlivé průměry v půkružnici sestrojené nad úsečkou délky \(a+b\). Užijte Eukleidovu větu o výšce a podobnost trojúhelníků.
  • Odpověď

    Nerovnosti mezi aritmetickým, geometrickým a harmonickým průměrem jsme ukázali algebraicky a dále jsme příslušné průměry interpretovali v půlkružnici nad průměrem délky \(a+b\).

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze