Řetězový zlomek √3, √11
Úloha číslo: 1603
Rozveďte v řetězový zlomek číslo
\[ \sqrt{a^2 + 2}. \]Pomocí tohoto řetězového zlomku pak nalezněte zlomky, které aproximují čísla \(\sqrt{3}\) a \(\sqrt{11}\) s přesností na 4 desetinná místa. Hodnoty příslušných částí řetězových zlomků porovnávejte s kalkulačkou.
Úloha vzorově řeší příklad ze cvičení předmětu Základy aritmetiky a algebry I.
Co je řetězový zlomek?
Řetězovým zlomkem čísla \(x\) rozumíme výraz typu
\[ \begin{equation} x= x_0 + \cfrac{1}{x_1 + \cfrac{1}{x_2 + \cfrac{1}{x_3 + \cfrac{1}{\ddots+\frac{1}{x_n} } } } } \end{equation}, \quad\text{kde } \begin{array}{l} x_0\in\mathbb{Z},\\ x_i \in \mathbb{N}, ~ i\in\lbrace 1,\ldots,n \rbrace. \end{array} \]Právě byl představen konečný řetězový zlomek. Zkráceně jej zapisujeme
\[ x = [x_0;x_1,x_2,\ldots,x_n]. \]Lze uvažovat (nekonečnou) posloupnost konečných řetězových zlomků – vždy přidáme další člen \(x_n\). Tuto posloupnost nazýváme nekonečným řetězovým zlomkem a zkráceně zapisujeme
\[ x = [x_0;x_1,x_2,x_3,\ldots]. \]Řetězové zlomky reprezentují nějaké číslo \(x\), viz další tvrzení.
Pro (ne)periodičnost a (ne)konečnost řetězových zlomků reálných čísel platí:
\[\small \text{Pro }x\in \left\{ \begin{array}{c} \mathbb{Q} \\ \mathbb{K} \\ \mathbb{R} \setminus \left( \mathbb{K} \cup \mathbb{Q}\right) \end{array} \right\} \text{existuje} \left\{ \begin{array}{l} \text{konečný} \\ \text{nekonečný, periodický} \\ \text{nekonečný, neperiodický} \end{array} \right\} \begin{array}{c} \text{řetězový zlomek.}\\ \end{array} \]Množina \(\mathbb{K}\) značí tzv. kvadratické iracionality – čísla tvaru \(\frac{p\pm\sqrt{n}}{q}\), kde \(p,q\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}, \sqrt{n} \not\in \mathbb{Q}.\)
Jak na výpočet sblížených zlomků?
Máme řetězový zlomek \(\left[ x_0;x_1,x_2,\ldots \right]\) a zajímá nás, jaké zlomky představují řetězové zlomky končící \(x_n\), tj. \(\left[ x_0;x_1,\ldots,x_n \right]=\frac{a_n}{b_n}=\,?\)
Mohli bychom tyto zlomky počítat přímou úpravou, ale to by bylo dost pracné. Zkusíme najít nějakou efektivnější cestu.
Zkusme nejprve tyto zlomky nalézt obecně pro první čtveřici.
\[ \begin{eqnarray} x_0 &=& \frac{x_0}{1} \\ x_0 + \frac{1}{x_1} &=& \frac{x_1 x_0+1}{x_1} \\ x_0 + \cfrac{1}{x_1 + \cfrac{1}{x_2}} &=& \frac{x_2(x_1 x_0+1) + x_0}{x_2x_1 + 1} \\ x_0 + \cfrac{1}{x_1 + \cfrac{1}{x_2 + \cfrac{1}{x_3}}} &=& \frac{x_3(x_2(x_1x_0+1)+x_0) + x_1x_0 + 1}{x_3(x_2x_1 + 1) + x_1} \\ &\vdots& \end{eqnarray} \]Výrazy na pravých stranách představují hledané zlomky, tzv. sblížené zlomky. Tyto zlomky označme \(\frac{a_0}{b_0},\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\ldots\) a pokusme se najít rekurentní vztah, jak ze znalosti předchozích sblížených zlomků vypočítat ty následující.
Po vhodném vytýkání si všimneme, že sblížené zlomky obsahují čitatele a jmenovatele zlomků předchozích.
\[ \begin{eqnarray} \frac{x_0}{1} &=& \frac{a_0}{b_0}\\ \frac{x_1 x_0+1}{x_1} &=& \frac{a_1}{b_1}\\ \frac{x_2(\overbrace{x_1x_0+1}^{a_1}) + \overbrace{x_0}^{a_0}}{x_2\underbrace{x_1}_{b_1} + \underbrace{1}_{b_0}} &=& \frac{a_2}{b_2}\\ \frac{x_3(\overbrace{x_2(x_1 x_0+1)+x_0}^{a_2}) + \overbrace{x_1x_0 + 1}^{a_1}}{x_3(\underbrace{x_2x_1 + 1}_{b_2}) + \underbrace{x_1}_{b_1}} &=& \frac{a_3}{b_3}\\ &\vdots& \end{eqnarray} \]Když zvolíme počáteční členy
\[ a_0 = x_0, \quad b_0 = 1, \tag{1}\] \[ a_1 = x_1x_0 + 1, \quad b_1= x_1, \tag{2}\]vypadá to, že pro \(n \ge 2\) platí rekurentní vztahy
\[ a_n = x_n a_{n-1} + a_{n-2}, \tag{3}\] \[ b_n = x_n b_{n-1} + b_{n-2}. \tag{4}\]Důkaz lze provést indukcí.
Tyto rekurentní vztahy jsou šikovným nástrojem při výpočtu sblížených zlomků. Uveďme příklad: určeme sblížené zlomky \(\left[2;4,{}3,{}2 \right]\).
\[ \begin{array}{r|r|rr} \small{i}& x_i & a_i & b_i \\ \small{0} & 2 & 2 & 1 \\ \small{1} & 4 & 9 & 4 \\ \small{2} & 3 & 29 & 13 \\ \small{3} & 2 & 67 & 30 \end{array} \]První sloupec je sloupec indexů, druhý sloupec jsou vypsané členy řetězového zlomku. První dva řádky zbývajících sloupců jsou vypočítány pomocí (1), (2), zbylé členy pomocí rekurentních vztahů (3), (4).
Celý řetězový zlomek má hodnotu posledního sblíženého zlomku, tj.
\[\left[2;4,{}3,{}2 \right] = \frac{a_3}{b_3}=\frac{67}{30}.\] Pokud by nás zajímali i předchozí sblížené zlomky, snadno je vyčteme z tabulky \[ \begin{eqnarray} \left[2;4,{}3 \right] &=& \frac{a_2}{b_2}=\frac{29}{13},\\ \left[2;4 \right] &=& \frac{a_1}{b_1}=\frac{9}{4},\\ \left[2\right] &=& \frac{a_0}{b_0}=\frac{2}{1}. \end{eqnarray} \]To se hodí například v okamžiku, kdy hledáme různě přesné aproximace čísel s nekonečnými řetězovými zlomky.
Nápověda 1 – řetězový zlomek
Rozveďte číslo \(\sqrt{a^2+2}\) v řetězový zlomek. Jde zjevně o kvadratickou iracionalitu, takže usilujte o nekonečný periodický řetězový zlomek.
Nápověda 2 – aproximace √3, √11
Na základě nalezeného obecného řetězového zlomku určete řetězové zlomky čísel \(\sqrt{3}, \sqrt{11}\). Následně hledejte konečné řetězové zlomky s minimálním počtem členů, potřebné k aproximaci s přesností na čtyři desetinná místa. Hodnoty řetězových zlomků porovnávejte s kalkulačkou.
Odpověď
Řetězový zlomek čísla \(\sqrt{a^2+2}\) je
\[a + \cfrac{1}{a + \cfrac{1}{2a + \cfrac{1}{ a + \cfrac{1}{2a + \cfrac{1}{\ddots}}}}} = \left[a;a,2a,a,2a,a,\ldots \right] = \left[a;\overline{a,2a}\right].\]Racionální aproximace čísel \(\sqrt{3}\) a \(\sqrt{11}\) s přesností na čtyři desetinná místa
\[ \sqrt{3} ~\approx~ \left[ 1;1{},2{},1{},2{},1{},{}2,{}1,{}2 \right] = \frac{265}{153}, \] \[ \sqrt{11} ~\approx~ \left[ 3;3{},6{},3{},6 \right] = \frac{1257}{379}. \]
