Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Součet n členů geometrické posloupnosti, geometrická řada

Úloha číslo: 1598

Uvažujte posloupnost \(\lbrace a_n \rbrace_{n=1}^\infty\), jejíž \(n\)-tý člen je dán vztahem

\[ a_n = a_1q^{n-1}, \]

kde \(a_1, q\) jsou pevně volené konstanty.

a) Nalezněte rekurentní vzorec pro tuto posloupnost a pojmenujte ji.
b) Určete součet \(s_n\) prvních \(n\) členů této posloupnosti.
c) Diskutujte konvergenci řady \(\sum_n a_n\), případně určete součet.
  • a) Nápověda – rekurentní vztah

    Napište vzorec pro \(n+1\) člen a „identifikujte“ v něm člen \(n\)-tý.
  • b) Nápověda – vyjádření součtu

    Zapište součet prvních \(n\) členů geometrické posloupnosti. Tento součet vynásobte výrazem \((1-q)\), roznásobte, upravte a vyjádřete \(s_n\).

  • c) Nápověda – konvergence řady

    Rozvažte konvergenci geometrické řady, tj. řady \[ \sum_n^\infty a_1q^{n-1}. \]
  • Odpověď

    a) Rekurentní vyjádření zadané posloupnosti je

    \[a_{n+1} = a_n q, \quad \forall n \ge 1,\]

    přičemž \(a_1,q\) jsou pevně volená.

    Jedná se tedy o geometrickou posloupnost s konstantním kvocientem.

    b) Součet prvních \(n\) členů lze vyjádřit pomocí \(a_1\) a \(q\)

    \[ s_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q\phantom{^1}}\quad \text{pro } q\neq 1, \] \[ s_n = na_1 \quad \text{pro } q=1. \]

    c) Geometrická řada konverguje pro \(|q|\lt 1\), kdy je její součet \(\frac{a_1}{1-q}\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze