Sbírka řešených úloh

Součet n členů geometrické posloupnosti, geometrická řada

Úloha číslo: 1598

• a) Nápověda – rekurentní vztah

  Napište vzorec pro $n+1$ člen a „identifikujte“ v něm člen $n$-tý.

• a) Řešení nápovědy – rekurentní vztah

  Ve výrazu pro $n+1.$ člen nalezneme vyjádření členu $n$-tého $$a_{\color{maroon}{n+1}} = a_1 q^{(\color{maroon}{n+1})-1}= a_1 q^{(n-1)+1}= \underbrace{a_1 q^{n-1}}_{a_n}\, q = a_nq.$$ Hledaný rekurentní vztah je tedy $$a_{n+1} = qa_n, \qquad \forall n \ge 1,$$

  přitom je udán první člen $a_1$.

  Z rekurentního vztahu plyne, že se jedná o geometrickou posloupnost s konstantním kvocientem $q$ a prvním členem $a_1$.

• b) Nápověda – vyjádření součtu

  Zapište součet prvních $n$ členů geometrické posloupnosti. Tento součet vynásobte výrazem $(1-q)$, roznásobte, upravte a vyjádřete $s_n$.

• b) Řešení nápovědy – vyjádření součtu

  Pomocí zadání geometrické posloupnosti můžeme hledaný součet

  $$s_n = \sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ~\ldots~ + a_n$$

  přepsat pomocí prvního členu a mocnin kvocientu

  $$s_n = \sum_{i=1}^n a_1q^{i-1} = a_1 + a_1q + a_1q^2 + ~\ldots~ + a_1q^{n-1}.$$

  Tento součet vynásobíme výrazem $(1-q)$, vzápětí uvidíme, že to vede k cíli.

  $$(1-q)s_n = (1-q)(a_1 + a_1q + a_1q^2 + \,\ldots\, + a_1 q^{n-1}) =$$ $$\begin{eqnarray} &=& a_1 + a_1q + a_1q^2 + \,\ldots\, + a_1 q^{n-1} \\ &\phantom{=}& \phantom{a_0} - a_1q - a_1q^2 - \,\ldots\, - a_1 q^{n-1} - a_1q^n = a_1(1 - q^n) \end{eqnarray}$$

  Členy nad sebou se odečetly a zůstal pouze první a poslední. Máme tedy rovnost

  $$(1-q)s_n = a_1(1-q^n),$$

  z které snadno vyjádříme součet $s_n$

  $$s_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q^\phantom{1}}, \qquad \text{pro } q\neq 1.$$

  Je zřejmé, že pro kvocient $q=1$ je součet jednoduše $s_n = n a_1$.

• c) Nápověda – konvergence řady

  Rozvažte konvergenci geometrické řady, tj. řady $$\sum_n^\infty a_1q^{n-1}.$$

• c) Řešení nápovědy – konvergence řady

  Pro geometrickou řadu

  $$\sum_n^\infty a_1q^{n-1}$$

  již známe součet prvních $n$ členů, tj. posloupnost částečných součtů.

  $$s_n = \left\{ \begin{array}{l l} na_1 & \quad \text{pro }q=1,\\ a_1\frac{1-q^n}{1-q\phantom{^1}} & \quad \text{pro } q \neq 1. \end{array} \right.$$

  Podíváme se, jaká je limita částečných součtů pro různé kvocienty $q$. Uvažujme nenulovou geometrickou posloupnost, tj. vylučme případ $a_1=0$.

  $$q=1\text{:}\quad \lim_{n\to\infty} n a_1 = \left\{ \begin{array}{l l} +\infty & a_1 \gt 0,\\ -\infty & a_1 \lt 0. \end{array} \right.$$ $$\small{ q \neq 1\text{:}\quad \lim_{n\to\infty} a_1\frac{1-q^n}{1-q\phantom{^1}} = \frac{a_1}{1-q\phantom{^1}} \lim_{n\to \infty} (1-q^n) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac{a_1}{1-q} & \text{je-li } |q| \lt 1, \\ +\infty & \text{je-li } q \gt 1, a_1 \gt 0,\\ -\infty & \text{je-li } q \gt 1, a_1 \lt 0,\\ \not\exists & \text{je-li } q \le -1,a_1 \neq 0. \end{array} \right.}$$

  Geometrická řada konverguje pouze pro $|q|\lt 1$, její součet je $\frac{a_1}{1-q}$.

• Odpověď

  a) Rekurentní vyjádření zadané posloupnosti je

  $$a_{n+1} = a_n q, \quad \forall n \ge 1,$$

  přičemž $a_1,q$ jsou pevně volená.

  Jedná se tedy o geometrickou posloupnost s konstantním kvocientem.

  b) Součet prvních $n$ členů lze vyjádřit pomocí $a_1$ a $q$

  $$s_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q\phantom{^1}}\quad \text{pro } q\neq 1,$$ $$s_n = na_1 \quad \text{pro } q=1.$$

  c) Geometrická řada konverguje pro $|q|\lt 1$, kdy je její součet $\frac{a_1}{1-q}$.