Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Kubická rovnice I.

Úloha číslo: 1609

Je dána kubická rovnice

\[x^3 - 3x - 2 = 0.\]

Na základě výsledků předchozí úlohy určete, kolik má rovnice kořenů a jakého typu. Kořeny vypočítejte pomocí Cardanových vzorců.

Úloha vzorově řeší příklad ze cvičení předmětu Základy aritmetiky a algebry II.

  • Nápověda 1 – počet a typ kořenů

    Jaká je hodnota \(p,q\) a \(D\)? Co to znamená pro počty a typy kořenů? Viz úloha Počty reálných kořenů kubické rovnice.

  • Nápověda 2 – hledání kořenů

    Pomocí Cardanových vzorců nalezněte řešení kubické rovnice.

    Cardanovy vzorce:

    \[ \begin{eqnarray} x_1 &=& u + v, \\ x_2 &=& \varepsilon u + \varepsilon^2 v, \\ x_3 &=& \varepsilon^2 u + \varepsilon v, \end{eqnarray} \] \[\small\text{kde }\quad u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}, \qquad v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}},\] \[ \text{a }\quad\small\varepsilon = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i. \]
  • Odpověď

    Kubická rovnice

    \[ x^3 - 3x - 2 = 0 \]

    má jeden jednoduchý kořen \(x_1 = 2\) a jeden dvojnásobný kořen \(x_{2{,}3}=-1\).

    Grafické znázornění řešení
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze