Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Kořeny kvadratické rovnice

Úloha číslo: 1605

Je dána kvadratická rovnice

\[ ax^2 + bx + c = 0,\quad a,b,c\in\mathbb{C}, a\neq0, \]

a nechť \(x_1, x_2 \in \mathbb{C}\) značí její kořeny.


a) Odvoďte Vietovy vztahy mezi \(x_1,x_2\) a \(a,b,c\).

b) Odvoďte vztah pro výpočet kořenů z Vietových vztahů.

c) Odvoďte vztah pro výpočet kořenů „doplněním na čtverec“.

Úloha je inspirována přednáškou ze Základů aritmetiky a algebry II.

  • a) Nápověda – Vietovy vztahy

    Proveďte rozklad kvadratického trojčlenu nad \(\mathbb{C}\), roznásobte a porovnejte koeficienty obou polynomů.

  • b) Nápověda – odvození z Vietových vzorců

    Víme, že kořeny udané kvadratické rovnice jsou řešením Vietových vztahů

    \[ \begin{eqnarray} -(x_1+x_2) &=& \frac{b}{a}, \\ x_1x_2 &=& \frac{c}{a}. \end{eqnarray} \]

    Vyjádřete neznámé kořeny \(x_1,x_2\).

  • c) Nápověda – odvození „doplněním na čtverec“

    Odvoďte vztah pro výpočet kořenů kvadratické rovnice tzv. „doplněním na čtverec“, tj. úpravou výrazu do takového, aby bylo možné použít vztah

    \[ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2. \]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze