Sbírka řešených úloh

Kořeny kvadratické rovnice

Úloha číslo: 1605

• a) Nápověda – Vietovy vztahy

  Proveďte rozklad kvadratického trojčlenu nad \(\mathbb{C}\), roznásobte a porovnejte koeficienty obou polynomů.

• a) Řešení nápovědy – Vietovy vztahy

  Kvadratický trojčlen má nad oborem \(\mathbb{C}\) rozklad na lineární faktory

  \[ ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2). \]

  Roznásobením pravé strany máme

  \[ ax^2 + \color{blue}{b}x + \color{maroon}{c} = ax^2+\color{blue}{a(-x_1-x_2)}x + \color{maroon}{ax_1x_2}. \]

  Z rovnosti polynomů porovnáním koeficientů máme

  \[ \begin{eqnarray} b &=& a(-x_1-x_2), \\ c &=& ax_1x_2. \end{eqnarray} \]

  Odtud snadno Vietovy vzorce

  \[ \begin{eqnarray} -(x_1+x_2) &=& \frac{b}{a}, \\ x_1x_2 &=& \frac{c}{a}. \end{eqnarray} \]

  Pokud je rovnice normovaná, tj. vedoucí člen \(a=1\), pak jednoduše

  \[ \begin{eqnarray} -(x_1+x_2) &=& b, \\ x_1x_2 &=& c. \end{eqnarray} \]

• b) Nápověda – odvození z Vietových vzorců

  Víme, že kořeny udané kvadratické rovnice jsou řešením Vietových vztahů

  \[ \begin{eqnarray} -(x_1+x_2) &=& \frac{b}{a}, \\ x_1x_2 &=& \frac{c}{a}. \end{eqnarray} \]

  Vyjádřete neznámé kořeny \(x_1,x_2\).

• b) Řešení nápovědy – odvození z Vietových vzorců

  Ze soustavy Vietových vztahů

  \[ \begin{eqnarray} -(x_1+x_2) &=& \frac{b}{a}, \tag{1}\\ x_1x_2 &=& \frac{c}{a}. \end{eqnarray} \]

  vyjádříme neznámé kořeny \(x_1, x_2\).

  ---

  Soustavu vyřešíme drobným „trikem“.

  \[ \begin{eqnarray} -(x_1+x_2) &=& \frac{b}{a} \qquad | ^2 \\ x_1x_2 &=& \frac{c}{a} \qquad | \cdot (-4) \end{eqnarray} \]

  Provedeme naznačené úpravy.

  \[ \begin{eqnarray} x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 &=& \left(\frac{b}{a}\right)^2 \\ -4x_1x_2 &=& -4\frac{c}{a} \end{eqnarray} \]

  Sečtením rovnic dostáváme

  \[ \underbrace{x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2}_{(x_1-x_2)^2} = \left(\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}, \]

  tedy

  \[ x_1-x_2 = \sqrt{\left(\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}}. \]

  Tato rovnice spolu s (1) tvoří mnohem příjemnější soustavu

  \[ \begin{eqnarray} x_1-x_2 &=& \sqrt{\left(\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}}\\ x_1+x_2 &=& -\frac{b}{a} \end{eqnarray} \]

  Sečtením a odečtením rovnic a následnou úpravou

  \[ x_{1{,}2} = \frac{-\frac{b}{a} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}}}{2}= \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]

  dostáváme jistě povědomý vztah pro kořeny kvadratické rovnice.

• c) Nápověda – odvození „doplněním na čtverec“

  Odvoďte vztah pro výpočet kořenů kvadratické rovnice tzv. „doplněním na čtverec“, tj. úpravou výrazu do takového, aby bylo možné použít vztah

  \[ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2. \]

• c) Řešení nápovědy – odvození „doplněním na čtverec“

  Hledáme řešení rovnice

  \[ax^2 + bx + c = 0.\]

  Neboť \(a\neq 0\), můžeme dělit \(a\)

  \[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0.\] Výraz na levé straně doplníme na čtverec \[ \underbrace{x^2 + \frac{b}{a}x \color{blue}{+\left(\frac{b}{2a}\right)^2}}_{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2} - \color{blue}{\left(\frac{b}{2a}\right)^2} + \frac{c}{a} = 0. \] Závorku osamostatníme \[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}. \] Odmocněním \[ x_{1{,}2}+\frac{b}{2a} = \pm\sqrt{ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}}. \] Tedy \[ x_{1{,}2} = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}}. \] Po úpravě \[ x_{1{,}2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]