Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Řešení kvadratických rovnic

Úloha číslo: 1606

Řešte následující úlohy:

  1. Nad \(\mathbb{C}\) je dána kvadratická rovnice \[ax^2+bx+c=0,\] s reálnými koeficienty, které jsou vázány podmínkou \(D = b^2 - 4ac \le 0\). Přesvědčte se, že kořeny \(x_1,x_2\) této rovnice jsou vzájemně komplexně sdružené.

  2. Nalezněte všechny kvadratické rovnice, které mají následující dvojici kořenů

    \[ x_1 = 1+i, \qquad x_2 = 2+i. \]
  3. Řešte v \(\mathbb{C}\)

    \[x^4 - 5x^2 - 36 = 0.\]
  4. Je dána kvadratická rovnice

    \[ 4x^2 - 8x + p^2 = 0. \]

    Proveďte diskuzi o počtu řešení vzhledem k parametru \(p\in\mathbb{R}\).

  5. Řešte v \(\mathbb{C}\)

    \[ x^2 + (1-i)x + 4 + 7i = 0. \]
  • Teorie

    Potřebné teoretické zázemí pro řešení těchto úloh jsme odvodili v příkladě Kořeny kvadratické rovnice.

  • 1. Nápověda

    Máme kvadratickou rovnici \(ax^2+bx+c=0\), kde \(a,b,c\) jsou reálné koeficienty, \(a\neq0\). Ukažte, že její kořeny \(x_1,x_2\) jsou komplexně sdružené, je-li \(D = b^2 - 4ac \le 0\).

  • 2. Nápověda

    Nalezněte všechny kvadratické rovnice, které mají následující dvojici kořenů

    \[ x_1 = 1+i, \qquad x_2 = 2+i. \]

    K sestavování kvadratických rovnic ze zadaných kořenů se budou hodit Vietovy vztahy, viz úloha Kořeny kvadratické rovnice.

  • 3. Nápověda

    V \(\mathbb{C}\) řešte rovnici \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\). Rovnice není kvadratická, jedná se o rovnici čtvrtého stupně. Přesto lze snadno řešit, jde totiž o bikvadratickou rovnici, která lze snadno převést na rovnici kvadratickou substitucí \(s=x^2\).

  • 4. Nápověda

    Je dána kvadratická rovnice \( 4x^2 - 8x + p^2 = 0.\) Proveďte diskuzi o počtu řešení vzhledem k \(p\in\mathbb{R}\). Tj. zkoumejte chování diskriminantu při různém \(p\).

  • 5. Nápověda

    V \(\mathbb{C}\) řešte rovnici \(x^2 + (1-i)x + 4 + 7i = 0\). Rovnice je kvadratická, vzorec pro výpočet kořenů platí i pro rovnice s komplexními koeficienty.

  • Odpověď

    1. Platí, viz řešení.

    2. Hledané rovnice mají tvar \[ax^2 - a(3+2i)x + a(1+3i) = 0, \quad a\in\mathbb{R}\setminus \lbrace 0 \rbrace.\]

    3. Řešení \(K = \lbrace \pm 3, \pm 2i \rbrace\).

    4. Pro \(p\in (-2,{}2)\) dva reálné kořeny, pro \(p\in (-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\) dva komplexní kořeny a pro \(p=\pm 2\) jeden reálný dvojnásobný kořen.

    5. Řešení \(K=\lbrace 1 - 2i, -2 + 3i \rbrace \).

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Zaslat komentář k úloze