Sbírka řešených úloh

Řešení kvadratických rovnic

Úloha číslo: 1606

• Teorie

  Potřebné teoretické zázemí pro řešení těchto úloh jsme odvodili v příkladě Kořeny kvadratické rovnice.

• 1. Nápověda

  Máme kvadratickou rovnici \(ax^2+bx+c=0\), kde \(a,b,c\) jsou reálné koeficienty, \(a\neq0\). Ukažte, že její kořeny \(x_1,x_2\) jsou komplexně sdružené, je-li \(D = b^2 - 4ac \le 0\).

• 1. Řešení nápovědy

  Hledejme kořeny kvadratické rovnice \(ax^2+bx+c=0,\)
  kde \(a,b,c\) jsou reálné koeficienty, \(a\neq0\) a platí \(D = b^2 - 4ac \le 0\).

  Kořeny této rovnice, odvození viz zde, jsou

  \[ x_{1{,}2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = -\frac{b}{2a}\pm\frac{\overbrace{\sqrt{b^2 - 4ac}}^{\sqrt{D}}}{2a}= \] \[ =-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{D}}{2a} = -\frac{b}{2a}\pm\frac{i\sqrt{|D|}}{2a}, \]

  kde jsme odmocnili reálný (neboť \(b,a,c\in\mathbb{R}\)) nekladný diskriminant.

  Kořeny mají tvar

  \[ x_{1{,}2} = \alpha \pm i\beta, \quad \text{kde} \quad \begin{array}{l} \alpha = -\frac{b}{2a} \in \mathbb{R},\\ \beta = \frac{\sqrt{|D|}}{2a} \in \mathbb{R}, \end{array} \]

  tedy jsou komplexně sdružené. V případě, kdy \(D=0\) je \(x_1 = x_2 = \alpha \in\mathbb{R}\), což je v pořádku, reálné číslo je komplexně sdružené „samo k sobě“.

• 2. Nápověda

  Nalezněte všechny kvadratické rovnice, které mají následující dvojici kořenů

  \[ x_1 = 1+i, \qquad x_2 = 2+i. \]

  K sestavování kvadratických rovnic ze zadaných kořenů se budou hodit Vietovy vztahy, viz úloha Kořeny kvadratické rovnice.

• 2. Řešení nápovědy

  Pro kvadratickou rovnici

  \[ ax^2 + bx + c = 0,\quad a\neq0, \]

  lze psát Vietovy vztahy

  \[ \begin{eqnarray} x_1 + x_2 &=& -\frac{b}{a}, \\ x_1x_2 &=& \frac{c}{a}. \end{eqnarray} \]

  Hledáme rovnice s dvojicí kořenů \(x_1 =1+i\), \(x_2=2+i\). Dosazením

  \[ \begin{eqnarray} 3+2i &=& -\frac{b}{a}, \\ \underbrace{(1+i)(2+i)}_{1+3i} &=& \frac{c}{a}. \end{eqnarray} \]

  Odtud koeficienty \(b,c\)

  \[ \begin{eqnarray} b &=\,-& a(3+2i), \\ c &=\,\phantom{-}& a(1+3i), \end{eqnarray} \]

  Všechny hledané rovnice tedy mají tvar

  \[ ax^2 - a(3+2i)x + a(1+3i) = 0, \quad a\in\mathbb{R}\setminus \lbrace 0 \rbrace. \]

• 3. Nápověda

  V \(\mathbb{C}\) řešte rovnici \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\). Rovnice není kvadratická, jedná se o rovnici čtvrtého stupně. Přesto lze snadno řešit, jde totiž o bikvadratickou rovnici, která lze snadno převést na rovnici kvadratickou substitucí \(s=x^2\).

• 3. Řešení nápovědy

  Bikvadratickou rovnici

  \[ x^4 - 5x^2 - 36 = 0 \]

  převedeme substitucí \(s=x^2\) na rovnici

  \[ s^2 - 5s - 36 = 0, \]

  což je rovnice kvadratická, jejíž kořeny jsou

  \[ s_{1{,}2} = \frac{5\pm\sqrt{25+4{\cdot} 36}}{2} = \left\{\begin{array}{r}9\\-4\end{array}\right. \]

  Návratem k substituci dostáváme kořeny původní rovnice

  \[ x_{1{,}2} = \pm\sqrt s_1 = \pm\sqrt{9} = \pm 3, \] \[ x_{2{,}3} = \pm\sqrt s_2 = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i. \]

  Rovnice má reálné koeficienty, proto je-li nějaké číslo kořenem, je kořenem i číslo komplexně sdružené, což je zde, jak vidíme, splněno.

• 4. Nápověda

  Je dána kvadratická rovnice \( 4x^2 - 8x + p^2 = 0.\) Proveďte diskuzi o počtu řešení vzhledem k \(p\in\mathbb{R}\). Tj. zkoumejte chování diskriminantu při různém \(p\).

• 4. Řešení nápovědy

  Kořeny kvadratické rovnice

  \[4x^2 - 8x + p^2 = 0\]

  jsou

  \[ x_{1{,}2}= \frac{8\pm\sqrt{64-16p^2}}{8} = 1 \pm \frac{1}{2} \sqrt{4-p^2}. \]

  Počet řešení se odvíjí od chování diskriminantu (výrazu pod odmocninou):

  • Pro \(p\in (-2,{}2)\) má rovnice dvě reálná řešení \[x_{1{,}2} = 1 \pm \frac{1}{2} \sqrt{4-p^2}.\]

  • Pro \(p\in (-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\) má rovnice dvě komplexní řešení \[x_{1{,}2}=1 \pm i\frac{1}{2} \sqrt{p^2-4}.\]

  • Pro \(p=\pm 2\) má rovnice jeden reálný dvojnásobný kořen \[x_1 = x_2 = 1. \]

• 5. Nápověda

  V \(\mathbb{C}\) řešte rovnici \(x^2 + (1-i)x + 4 + 7i = 0\). Rovnice je kvadratická, vzorec pro výpočet kořenů platí i pro rovnice s komplexními koeficienty.

• 5. Řešení nápovědy

  Určeme kořeny rovnice

  \[ x^2 + (1-i)x + 4 + 7i = 0. \]

  Ze vztahu pro kořeny máme

  \[ x_{1{,}2}= \frac{-(1-i)\pm\sqrt{(1-i)^2 - 4(4+7i)}}{2}. \]

  Odmocninu určíme zvlášť. Nejprve zjednodušíme výraz pod odmocninou

  \[ \small (1-i)^2 - 4(4+7i) = 1 - 2i + \underbrace{i^2}_{-1} - 16 - 28i = - 16 - 30i. \]

  Z tohoto komplexního čísla potřebujeme určit druhou odmocninu, tj. hledáme číslo \(\alpha + i\beta\) takové, že

  \[ \small \begin{eqnarray} \sqrt{- 16 - 30i} &=& \alpha + i\beta \qquad | ^2 \\ - 16 - 30i &=& \alpha^2 + 2\alpha\beta i - \beta^2 \end{eqnarray} \]

  Porovnáním reálných a imaginárních částí komplexních čísel na obou stranách máme soustavu

  \[ \small \begin{eqnarray} -16 &=& \alpha^2 - \beta^2 \\ -30 &=& 2\alpha \beta, \end{eqnarray} \] kde uhádneme řešení \(\alpha = 3, \beta = -5\). Tedy \(\sqrt{- 16 - 30i} = 3 - 5i\).

  Nyní se můžeme vrátit k výpočtu kořenů a dosadit právě určenou odmocninu

  \[ \small x_{1{,}2}= \frac{-(1-i)\pm (3 - 5i)}{2}= \left\{\begin{array}{l} \frac{2-4i}{2} = 1 - 2i,\\ \frac{-4+6i}{2} = -2 + 3i. \end{array}\right. \]

  ---

  Výsledek si můžeme zkontrolovat pomocí Vietových vztahů

  \[ \begin{eqnarray} x_1 + x_2 &=& 1-2i-2+3i = -1 + i, \\ x_1x_2 &=& (1-2i)(-2+3i) = 4 + 7i. \end{eqnarray} \]

  Skutečně – součet kořenů je záporně vzatý koeficient u lineárního členu, součin kořenů je roven absolutnímu členu.

• Odpověď

  1. Platí, viz řešení.

  2. Hledané rovnice mají tvar \[ax^2 - a(3+2i)x + a(1+3i) = 0, \quad a\in\mathbb{R}\setminus \lbrace 0 \rbrace.\]

  3. Řešení \(K = \lbrace \pm 3, \pm 2i \rbrace\).

  4. Pro \(p\in (-2,{}2)\) dva reálné kořeny, pro \(p\in (-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\) dva komplexní kořeny a pro \(p=\pm 2\) jeden reálný dvojnásobný kořen.

  5. Řešení \(K=\lbrace 1 - 2i, -2 + 3i \rbrace \).