Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Součet n členů aritmetické posloupnosti

Úloha číslo: 1597

Uvažujte posloupnost \(\lbrace a_n \rbrace_{n=1}^\infty\), jejíž \(n\)-tý člen je dán vztahem

\[ a_n = a_1 + (n-1) d, \]

kde \(a_1, d\) jsou pevně volené konstanty.

a) Nalezněte rekurentní vzorec pro tuto posloupnost a pojmenujte ji.
b) Určete součet \(s_n\) prvních \(n\) členů této posloupnosti.
c) Diskutujte konvergenci řady \(\sum_n a_n\).
  • a) Nápověda – rekurentní vztah

    Napište vzorec pro \(n+1\) člen a „identifikujte“ v něm člen \(n\)-tý.
  • b) Nápověda – vyjádření součtu

    Zapište součet prvních \(n\) členů aritmetické posloupnosti. K tomuto součtu pak přičtěte tentýž součet, ale v obráceném pořadí celé sečtěte. Získáte tak \(2s_n\).

  • c) Nápověda – konvergence řady

    Rozvažte konvergenci aritmetické řady, tj. řady \[ \sum_n^\infty \big[a_1 + (n-1)d\big]. \]
  • Komentář – součet pomocí „kamínků“

    Součet prvních \(n\) členů aritmetické posloupnosti s \(a_1 = 1\) a \(d=1\) můžeme nalézt geometrickým znázorněním pomocí tzv. trojúhelníkových čísel.
    Součet graficky
    Trojúhelník „kamínků“ představuje hledaný součet \[ s_n = 1 + 2 + \ldots + n. \] Sečteme-li tyto dva trojúhelníky, dostáváme obdelníkové číslo \(n\times (n+1)\), tedy \[ 2s_n = n(n+1). \] Odtud snadno pro hledaný součet \[ s_n = \frac{1}{2}n (1+n). \]

    Námět čerpán z publikace „Hrdinský věk řecké matematiky“ J. Bečváře (dostupné online zde). V této knize naleznete mimo jiné odvození mnoha dalších identit pomocí figurálních čísel.

  • Odpověď

    a) Rekurentní vyjádření zadané posloupnosti je

    \[a_{n+1} = a_n + d, \quad \forall n \ge 1,\]

    přičemž \(a_1,d\) jsou pevně volená.

    Jedná se tedy o aritmetickou posloupnost s konstantní diferencí (1. řádu).

    b) Součet prvních \(n\) členů lze vyjádřit pomocí \(a_1\) a \(d\)

    \[ s_n = \frac{1}{2} n \big[2a_1 + (n-1)d\big], \]

    případně pomocí \(a_1\) a \(a_n\)

    \[s_n = \frac{1}{2} n (a_1 + a_n).\]

    c) Aritmetická řada diverguje k \(\pm \infty\) kromě nulové řady. Ta konverguje k \(0\).

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze