Sbírka řešených úloh

Součet n členů aritmetické posloupnosti

Úloha číslo: 1597

• a) Nápověda – rekurentní vztah

  Napište vzorec pro \(n+1\) člen a „identifikujte“ v něm člen \(n\)-tý.

• a) Řešení nápovědy – rekurentní vztah

  Ve výrazu pro \(n+1.\) člen nalezneme vyjádření členu \(n\)-tého \[ a_{\color{maroon}{n+1}} = a_1 + \big((\color{maroon}{n+1})-1\big)d = \underbrace{a_1 + (n-1)d}_{a_n} + d = a_n+d. \] Hledaný rekurentní vztah je tedy \[ a_{n+1} = a_n + d, \qquad \forall n \ge 1, \]

  přitom je udán první člen \(a_1\).

  Z rekurentního vztahu plyne, že se jedná o aritmetickou posloupnost s konstantní diferencí \(d\) a prvním členem \(a_1\).

• b) Nápověda – vyjádření součtu

  Zapište součet prvních \(n\) členů aritmetické posloupnosti. K tomuto součtu pak přičtěte tentýž součet, ale v obráceném pořadí celé sečtěte. Získáte tak \(2s_n\).

• b) Řešení nápovědy – vyjádření součtu

  Pomocí zadání aritmetické posloupnosti můžeme hledaný součet

  \[ s_n = \sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ~\ldots~ + a_n \]

  přepsat pomocí prvního členu a diference

  \[ s_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \ldots + \big(a_1 + (n-1)d\big). \]

  Zapišme tento součet dvakrát pod sebe, v druhém řádku v obráceném pořadí

  \[ \small{ \begin{array}{r} 2s_n = \\ + \end{array} \begin{array}{c} a_1 \\ a_1 + (n-1)d \end{array} \begin{array}{c} +\\ +\\ \end{array} \begin{array}{c} a_1 + d \\ a_1 + (n-2)d \end{array} \begin{array}{c} +\\ +\\ \end{array} \begin{array}{c} a_1 + 2d \\ a_1 + (n-3)d \end{array} \begin{array}{c} +\,\ldots\,+\\ +\,\ldots\,+\\ \end{array} \begin{array}{c} a_1 + (n-1)d +\\ a_1 \end{array}}. \]

  Vidíme, že součet čísel v každém sloupci je stejný a to \(2a_1 + (n-1)d\). Těchto sloupců je zde zřejmě \(n\), proto

  \[ 2s_n = n \big[2a_1 + (n-1)d\big] \]

  a tedy

  \[ s_n = \frac{1}{2} n \big[2a_1 + (n-1)d\big]. \]

  Můžeme také nalézt vyjádření pomocí prvního a \(n\)-tého členu

  \[ s_n = \frac{1}{2} n \big[a_1 + \underbrace{a_1 + (n-1)d}_{a_n}\big]= \frac{1}{2} n (a_1 + a_n). \]

• c) Nápověda – konvergence řady

  Rozvažte konvergenci aritmetické řady, tj. řady \[ \sum_n^\infty \big[a_1 + (n-1)d\big]. \]

• c) Řešení nápovědy – konvergence řady

  Pro aritmetickou řadu

  \[ \sum_n^\infty \big[a_1 + (n-1)d\big] \]

  již známe součet \(n\) členů, tj. posloupnost částečných součtů. Podíváme se na její limitu

  \[ \lim_{n\to \infty} s_n = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{2} n \big[2a_1 + (n-1)d\big] = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \quad \text{pro }q=a_1=0,\\ \pm\infty & \quad \text{pro } q\neq0 \vee a_1\neq0. \end{array} \right. \]

  Aritmetická řada tedy diverguje k \(+\infty\) nebo \(-\infty\) až na speciální případ nulové řady, kdy je součet \(0\).

• Komentář – součet pomocí „kamínků“

  Součet prvních \(n\) členů aritmetické posloupnosti s \(a_1 = 1\) a \(d=1\) můžeme nalézt geometrickým znázorněním pomocí tzv. trojúhelníkových čísel.

  

  Trojúhelník „kamínků“ představuje hledaný součet \[ s_n = 1 + 2 + \ldots + n. \] Sečteme-li tyto dva trojúhelníky, dostáváme obdelníkové číslo \(n\times (n+1)\), tedy \[ 2s_n = n(n+1). \] Odtud snadno pro hledaný součet \[ s_n = \frac{1}{2}n (1+n). \]

  Námět čerpán z publikace „Hrdinský věk řecké matematiky“ J. Bečváře (dostupné online zde). V této knize naleznete mimo jiné odvození mnoha dalších identit pomocí figurálních čísel.

• Odpověď

  a) Rekurentní vyjádření zadané posloupnosti je

  \[a_{n+1} = a_n + d, \quad \forall n \ge 1,\]

  přičemž \(a_1,d\) jsou pevně volená.

  Jedná se tedy o aritmetickou posloupnost s konstantní diferencí (1. řádu).

  b) Součet prvních \(n\) členů lze vyjádřit pomocí \(a_1\) a \(d\)

  \[ s_n = \frac{1}{2} n \big[2a_1 + (n-1)d\big], \]

  případně pomocí \(a_1\) a \(a_n\)

  \[s_n = \frac{1}{2} n (a_1 + a_n).\]

  c) Aritmetická řada diverguje k \(\pm \infty\) kromě nulové řady. Ta konverguje k \(0\).