Aritmetická posloupnost <em>n</em>-tého řádu

Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Aritmetická posloupnost n-tého řádu

Úloha číslo: 1599

Sestavte diferenční schémata následujících posloupností:

a) \(\lbrace a_n\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace n^2\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace 1,{}4,{}9,{}16,{}25,{}36,{}49,\ldots\rbrace\),

b) \(\lbrace b_n\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace n^3\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace 1,{}8,{}27,{}64,{}125,{}216,\ldots\rbrace\),

a rozhodněte, zda se jedná o aritmetické posloupnosti vyšších řádů. V kladném případě určete jejich řád.

Řád aritmetické posloupnosti

Uvažujme diferenční schéma nenulové posloupnosti \(\lbrace a_n\rbrace_{n=1}^\infty\). Dostáváme-li první nulovou posloupnost na \(k\)-tém řádku diferenčního schématu, říkáme, že posloupnost \(\lbrace a_n\rbrace_{n=1}^\infty\) je aritmetickou posloupností řádu \(k-2\).

Poznámka: běžná aritmetická posloupnost s nenulovou diferencí je tedy aritmetickou posloupností 1. řádu; konstantní nenulová posloupnost má řád 0.

Úloha byla inspirována příklady ze cvičení předmětu Základy aritmetiky a algebry II.

Co je diferenční schéma?
Diferenční schéma posloupnosti \(\lbrace a_n \rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\ldots \rbrace\) získáme následovně:

Do prvního řádku schématu napíšeme členy zkoumané posloupnosti, do následujících řádků píšeme rozdíly (diference) příslušných členů posloupnosti v předchozím řádku, jak ukazuje následující schéma.
\[ \begin{array}{c|ccccccc} \text{1. řádek}& a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 & a_6 & \cdots\\ \text{2. řádek}& \underbrace{a_2-a_1}_{b_1} & \underbrace{a_3-a_2}_{b_2} & \underbrace{a_4-a_3}_{b_3} & \underbrace{a_5-a_4}_{b_4} & \underbrace{a_6-a_5}_{b_5} & \cdots\\ \text{3. řádek}& \underbrace{b_2-b_1}_{c_1} & \underbrace{b_3-b_2}_{c_2} & \underbrace{b_4-b_3}_{c_3} & \underbrace{b_5-b_4}_{c_4} & \cdots\\ \text{4. řádek}& c_2-c_1 & c_3 - c_2 & c_4-c_3 & \cdots\\ &\vdots &\vdots &\vdots \\ \text{k. řádek} & 0 & 0 & 0 & 0 &0 &0 & \ldots \end{array} \]
Existuje-li přirozené \(k\) takové, že \(k\)-tý řádek je první nulová posloupnost diferenčního schématu, pak je posloupnost \(\lbrace a_n \rbrace_{n=1}^\infty\) aritmetickou posloupností \(k-2\) řádu.
a) Nápověda – diferenční schéma a řád posloupnosti
Sestavte diferenční schéma posloupnosti
\[\lbrace a_n\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace n^2\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace 1,{}4,{}9,{}16,{}25,{}36,{}49,\ldots\rbrace,\]
pokud se jedná o aritmetickou posloupnost vyššího řádu, určete její řád.
a) Řešení nápovědy – diferenční schéma a řád posloupnosti
Sestavme diferenční schéma posloupnosti \(\lbrace a_n\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace n^2\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace 1,{}4,{}9,{}16,{}25,{}36,{}49,\ldots\rbrace\).
\[ \begin{array}{c|cccccccc} \text{1. řádek}& 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 &\ldots\\ \text{2. řádek}& 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 & \ldots & \\ \text{3. řádek}& 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & \ldots &&\\ \text{4. řádek}& 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots &&& \end{array} \]
Vypadá to, že se objevila nulová posloupnost na 4. řádku, tj. mohlo by jít o aritmetickou posloupnost \(4-2\), tj. 2. řádu. Ukažme to.

Vezměme libovolnou trojici sousedních čísel v prvním řádku a vypočítejme část diferenčního schématu:
\[ \begin{array}{r|cccc} \text{1. řádek} & ~\cdots & (m-1)^2 & m^2 & (m+1)^2 & \cdots \\ \text{2. řádek} & ~\cdots & 2m-1 & 2m+1 & \cdots & \cdots \\ \text{3. řádek} & ~\cdots & 2 & \cdots & \cdots & \cdots \end{array} \]
Tj. třetí řádek obsahuje samé \(2\), tj. čtvrtý řádek je nulová posloupnost. Jedná se tedy opravdu o aritmetickou posloupnost druhého řádu.
b) Nápověda – diferenční schéma a řád posloupnosti
Sestavte diferenční schéma posloupnosti
\[\lbrace b_n\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace n^3\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace 1,{}8,{}27,{}64,{}125,{}216,\ldots\rbrace,\]
pokud se jedná o aritmetickou posloupnost vyššího řádu, určete její řád.
b) Řešení nápovědy – diferenční schéma a řád posloupnosti
Sestavme diferenční schéma posloupnosti \(\lbrace b_n\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace n^3\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace 1,{}8,{}27,{}64,{}125,{}216,\ldots\rbrace\).
\[ \begin{array}{c|ccccccc} \text{1. řádek}& 1 & 8 & 27 & 64 & 125 & 216 & \ldots\\ \text{2. řádek}& 7 & 19& 37 & 61 & 91 & \ldots & \\ \text{3. řádek}& 12& 18& 24 & 30 & \ldots &&\\ \text{4. řádek}& 6 & 6 & 6 & \ldots &&&\\ \text{5. řádek}& 0 & 0 & \ldots &&& \end{array} \]
Vypadá to, že se objevila nulová posloupnost na 5. řádku, tj. mohlo by jít o aritmetickou posloupnost \(5-2\), tj. 3. řádu. Ukažme to.

Vezměme libovolnou čtveřici sousedních čísel v prvním řádku a vypočítejme část diferenčního schématu:
\[\small{ \begin{array}{r|ccccc} \text{1. řádek} & \cdots & (m-1)^3 & m^3 & (m+1)^3 & (m+2)^3 & \cdots \\ \text{2. řádek} & \cdots & 3m^2-3m+1 & 3m^2 + 3m + 1 & 3m^2 + 9m + 7 &\cdots & \cdots \\ \text{3. řádek} & \cdots & 6m & 6m + 6 & \cdots & \cdots & \cdots \\ \text{4. řádek} & \cdots & 6 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array}} \]
Tj. čtvrtý řádek obsahuje samé \(6\), tj. pátý řádek je nulová posloupnost. Jedná se tedy opravdu o aritmetickou posloupnost třetího řádu.
Odpověď
a) Posloupnost \[\lbrace a_n\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace n^2\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace 1,{}4,{}9,{}16,{}25,{}36,{}49,\ldots\rbrace\] je aritmetická posloupnost 2. řádu.

b) Posloupnost \[\lbrace b_n\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace n^3\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace 1,{}8,{}27,{}64,{}125,{}216,\ldots\rbrace\] je aritmetická posloupnost 3. řádu.

Dokázali byste ukázat, jak by to bylo v případě posloupnosti obecně \(l\)-tých mocnin, tj. u posloupnosti \(\lbrace n^l\rbrace_{n=1}^\infty \)?

Aritmetická posloupnost n-tého řádu

Úloha číslo: 1599

Co je diferenční schéma?

a) Nápověda – diferenční schéma a řád posloupnosti

a) Řešení nápovědy – diferenční schéma a řád posloupnosti

b) Nápověda – diferenční schéma a řád posloupnosti

b) Řešení nápovědy – diferenční schéma a řád posloupnosti

Odpověď