Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Aritmetická posloupnost n-tého řádu

Úloha číslo: 1599

Sestavte diferenční schémata následujících posloupností:

a) \(\lbrace a_n\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace n^2\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace 1,{}4,{}9,{}16,{}25,{}36,{}49,\ldots\rbrace\),
b) \(\lbrace b_n\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace n^3\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace 1,{}8,{}27,{}64,{}125,{}216,\ldots\rbrace\),

a rozhodněte, zda se jedná o aritmetické posloupnosti vyšších řádů. V kladném případě určete jejich řád.

Řád aritmetické posloupnosti

Uvažujme diferenční schéma nenulové posloupnosti \(\lbrace a_n\rbrace_{n=1}^\infty\). Dostáváme-li první nulovou posloupnost na \(k\)-tém řádku diferenčního schématu, říkáme, že posloupnost \(\lbrace a_n\rbrace_{n=1}^\infty\) je aritmetickou posloupností řádu \(k-2\).

Poznámka: běžná aritmetická posloupnost s nenulovou diferencí je tedy aritmetickou posloupností 1. řádu; konstantní nenulová posloupnost má řád 0.

Úloha byla inspirována příklady ze cvičení předmětu Základy aritmetiky a algebry II.

  • Co je diferenční schéma?

    Diferenční schéma posloupnosti \(\lbrace a_n \rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\ldots \rbrace\) získáme následovně:

    Do prvního řádku schématu napíšeme členy zkoumané posloupnosti, do následujících řádků píšeme rozdíly (diference) příslušných členů posloupnosti v předchozím řádku, jak ukazuje následující schéma.

    \[ \begin{array}{c|ccccccc} \text{1. řádek}& a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 & a_6 & \cdots\\ \text{2. řádek}& \underbrace{a_2-a_1}_{b_1} & \underbrace{a_3-a_2}_{b_2} & \underbrace{a_4-a_3}_{b_3} & \underbrace{a_5-a_4}_{b_4} & \underbrace{a_6-a_5}_{b_5} & \cdots\\ \text{3. řádek}& \underbrace{b_2-b_1}_{c_1} & \underbrace{b_3-b_2}_{c_2} & \underbrace{b_4-b_3}_{c_3} & \underbrace{b_5-b_4}_{c_4} & \cdots\\ \text{4. řádek}& c_2-c_1 & c_3 - c_2 & c_4-c_3 & \cdots\\ &\vdots &\vdots &\vdots \\ \text{k. řádek} & 0 & 0 & 0 & 0 &0 &0 & \ldots \end{array} \]

    Existuje-li přirozené \(k\) takové, že \(k\)-tý řádek je první nulová posloupnost diferenčního schématu, pak je posloupnost \(\lbrace a_n \rbrace_{n=1}^\infty\) aritmetickou posloupností \(k-2\) řádu.

  • a) Nápověda – diferenční schéma a řád posloupnosti

    Sestavte diferenční schéma posloupnosti

    \[\lbrace a_n\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace n^2\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace 1,{}4,{}9,{}16,{}25,{}36,{}49,\ldots\rbrace,\]

    pokud se jedná o aritmetickou posloupnost vyššího řádu, určete její řád.

  • b) Nápověda – diferenční schéma a řád posloupnosti

    Sestavte diferenční schéma posloupnosti

    \[\lbrace b_n\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace n^3\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace 1,{}8,{}27,{}64,{}125,{}216,\ldots\rbrace,\]

    pokud se jedná o aritmetickou posloupnost vyššího řádu, určete její řád.

  • Odpověď

    a) Posloupnost \[\lbrace a_n\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace n^2\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace 1,{}4,{}9,{}16,{}25,{}36,{}49,\ldots\rbrace\] je aritmetická posloupnost 2. řádu.

    b) Posloupnost \[\lbrace b_n\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace n^3\rbrace_{n=1}^\infty = \lbrace 1,{}8,{}27,{}64,{}125,{}216,\ldots\rbrace\] je aritmetická posloupnost 3. řádu.


    Dokázali byste ukázat, jak by to bylo v případě posloupnosti obecně \(l\)-tých mocnin, tj. u posloupnosti \(\lbrace n^l\rbrace_{n=1}^\infty \)?

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze