Pohyb po válci

Úloha číslo: 997

Hmotný bod se pohybuje rovnoměrně rychlostí v₀ po povrchové přímce válce (viz obrázek) výšky h a poloměru R. Válec se otáčí rovnoměrně úhlovou rychlostí ω ve směru otáčení hodinových ručiček. Hmotný bod se v čase t = 0 nacházel v bodě A = [R, 0, 0]

a) Napište parametrické vyjádření trajektorie hmotného bodu.

b) Určete složky vektoru rychlosti a jeho velikost.

c) Určete složky vektoru zrychlení a jeho velikost.

Poznámka 1: Všechny úlohy řešte v kartézské soustavě (již zvolené v obrázku výše), vůči které se válec otáčí, nikoli v soustavě pevně spojené s válcem.

Poznámka 2: Vektory jsou v úloze značeny tučně.

Nápověda 1 ( k úloze a) )
Úlohou je určit parametrické vyjádření trajektorie, po které se pohybuje hmotný bod, přičemž máme úlohu řešit v kartézské soustavě, vůči které se válec otáčí, nikoli v soustavě pevně spojené s válcem. Víme, že se hmotný bod pohybuje ve třech rozměrech, proto budeme na popis potřebovat tři souřadnice x, y, z a bude potřeba zjistit, jak se mění s časem.

Nejjednodušší je určit závislost z(t), protože se hmotný bod pohybuje v tomto směru rovnoměrně rychlostí v₀.

Pro určení souřadnic x(t) a y(t) si zkuste představit, po jaké trajektorii se pohybuje při pohledu seshora, tedy při promítnutí do roviny xy.

Uvědomte si, že se jedná o složený pohyb!
Řešení nápovědy 1
Pohyb hmotného bodu chceme popsat parametricky, chceme tedy zjistit závislost souřadnic na čase.

Při promítnutí do roviny xy se v důsledku otáčení válce úhlovou rychlostí ω hmotný bod pohybuje rovnoměrně po kružnici s poloměrem R (viz obrázek níže).

Ve směru osy z se hmotný bod pohybuje rovnoměrně rychlostí v₀. Závislost z-tové souřadnice je proto na čase lineární.

Pro parametrické vyjádření proto platí
\[ x(t) = R \cos{\omega t} \] \[ y(t) = R \sin{\omega t} \] \[ z(t)= v_0t. \]
Křivka s výše uvedeným paramatrickým vyjádřením se nazývá šroubovice a její část je znázorněná na obrázku níže (obrázek je převzatý z internetu).
Nápověda 2 ( k úloze b) )
Pro určení složek rychlosti si stačí uvědomit, jaký vztah platí mezi nimi a souřadnicemi polohy hmotného bodu. Uvědomte si, že rychlost má v každém bodě směr tečny k trajektorii.

Velikost rychlosti pak jednoduše určíte pomocí souřadnic x, y, z.
Řešení nápovědy 2
Složky rychlosti získáme derivací příslušných souřadnic x, y, z.
\[ v_{\mathrm{x}}(t)= \frac{dx}{dt} = - R \omega sin\omega t \] \[ v_{\mathrm{y}}(t)= \frac{dy}{dt} = R \omega cos\omega t \] \[ v_{\mathrm{z}}(t)= \frac{dz}{dt} = v_0. \]
Pro velikost vektoru rychlosti platí
\[ \left | \vec{v} \right| = v = \sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2+ v_{\mathrm{z}}^2}. \]
Po dosazení získáváme
\[ v = \sqrt{R^2\omega^2\sin^2\omega t+ R^2\omega^2\cos^2\omega t + v_0^2} \] \[ v = \sqrt{R^2\omega^2\underbrace{(\sin^2\omega t+ \cos^2\omega t)}_{1} + v_0^2} \] \[ v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_0^2}. \]
Poznámka: Všimněte si, že pro v₀ = 0 dostaneme pro velikost rychlosti v = Rω, což je vztah známý ze střední školy.
Nápověda 3 ( k úloze c) )
Úlohou je určit složky vektoru zrychlení. Stačí si uvědomit, jaký je vztah mezi nimi a složkami vektoru rychlosti.

Velikost vektoru zrychlení pak už jednoduše určíte analogickým postupem jako v úloze b).
Řešení nápovědy 3
Složky vektoru zrychlení získáme derivací složek vektoru rychlosti
\[ a_{\mathrm{x}}(t)= \frac{dv_{\mathrm{x}}}{dt}= -R \omega^2\cos\omega t \] \[ a_{\mathrm{y}}(t)= \frac{dv_{\mathrm{y}}}{dt}= -R \omega^2\sin\omega t \] \[ a_{\mathrm{z}}(t)= \frac{dv_{\mathrm{z}}}{dt}= 0. \]
Pro velikost vektoru zrychlení platí
\[ \left|\vec{a}\right|= a = \sqrt{a^2_{\mathrm{x}} + a^2_{\mathrm{y}} +a^2_{\mathrm{z}}} \] \[ a = \sqrt{R^2\omega^4 \cos^2\omega t + R^2\omega^4 \sin^2\omega t + 0^2} \] \[ a = \sqrt{R^2\omega^4 \underbrace{\left(\cos^2\omega t + \sin^2\omega t\right)}_1}. \]
Velikost vektoru zrychlení je
\[ a = R\omega^2. \]
Poznámka: Všimněte si, že předešlý vztah je známý již ze střední školy. Jedná se vlastně o velikost dostředivého zrychlení.
Celkové řešení
ad a)

Pohyb hmotného bodu chceme popsat parametricky, chceme tedy zjistit závislost souřadnic na čase.

Při promítnutí do roviny xy se v důsledku otáčení válce úhlovou rychlostí ω hmotný bod pohybuje rovnoměrně po kružnici s poloměrem R (viz obrázek níže).

Ve směru osy z se hmotný bod pohybuje rovnoměrně rychlostí v₀. Závislost z-tové souřadnice je proto na čase lineární.

Pro parametrické vyjádření proto platí
\[ x(t) = R \cos{\omega t} \] \[ y(t) = R \sin{\omega t} \] \[ z(t)= v_0t. \]
Křivka s výše uvedeným paramatrickým vyjádřením se nazývá šroubovice a její část je znázorněná na obrázku níže (obrázek je převzatý z internetu).

ad b)

Složky rychlosti získáme derivací příslušných souřadnic x, y, z.
\[ v_{\mathrm{x}}(t)= \frac{dx}{dt} = - R \omega sin\omega t \] \[ v_{\mathrm{y}}(t)= \frac{dy}{dt} = R \omega cos\omega t \] \[ v_{\mathrm{z}}(t)= \frac{dz}{dt} = v_0. \]
Pro velikost vektoru rychlosti platí
\[ \left | \vec{v} \right| = v = \sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2+ v_{\mathrm{z}}^2}. \]
Po dosazení získáváme
\[ v = \sqrt{R^2\omega^2\sin^2\omega t+ R^2\omega^2\cos^2\omega t + v_0^2} \] \[ v = \sqrt{R^2\omega^2\underbrace{(\sin^2\omega t+ \cos^2\omega t)}_{1} + v_0^2} \] \[ v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_0^2}. \]
Poznámka: Všimněte si, že pro v₀ = 0 dostaneme pro velikost rychlosti v = Rω, což je vztah známý ze střední školy.

ad c)

Složky vektoru zrychlení získáme derivací složek vektoru rychlosti
\[ a_{\mathrm{x}}(t)= \frac{dv_{\mathrm{x}}}{dt}= -R \omega^2\cos\omega t \] \[ a_{\mathrm{y}}(t)= \frac{dv_{\mathrm{y}}}{dt}= -R \omega^2\sin\omega t \] \[ a_{\mathrm{z}}(t)= \frac{dv_{\mathrm{z}}}{dt}= 0. \]
Pro velikost vektoru zrychlení platí
\[ \left|\vec{a}\right|= a = \sqrt{a^2_{\mathrm{x}} + a^2_{\mathrm{y}} +a^2_{\mathrm{z}}} \] \[ a = \sqrt{R^2\omega^4 \cos^2\omega t + R^2\omega^4 \sin^2\omega t + 0^2} \] \[ a = \sqrt{R^2\omega^4 \underbrace{\left(\cos^2\omega t + \sin^2\omega t\right)}_1}. \]
Velikost vektoru zrychlení je
\[ a = R\omega^2. \]
Poznámka: Všimněte si, že předešlý vztah je známý již ze střední školy. Jedná se vlastně o velikost dostředivého zrychlení.
Odpověď
a) Parametrické vyjádření trajektorie, kterou opisuje hmotný bod, je
\[ x(t) = R \cos{\omega t} \] \[ y(t) = R \sin{\omega t} \] \[ z(t)= v_0t. \]
Hmotný bod se pohybuje po šroubovici.

b) Složky vektoru rychlosti jsou následující
\[ v_{\mathrm{x}}(t) = - R \omega sin\omega t \] \[ v_{\mathrm{y}}(t)= R \omega cos\omega t \] \[ v_{\mathrm{z}}(t)= v_0. \]
Velikost vektoru rychlosti je
\[ v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_0^2}. \]
c) Složky vektoru zrychlení jsou následující
\[ a_{\mathrm{x}}(t)= -R \omega^2\cos\omega t \] \[ a_{\mathrm{y}}(t)= -R \omega^2\sin\omega t \] \[ a_{\mathrm{z}}(t)= 0. \]
Velikost vektoru zrychlení je
\[ a = R\omega^2. \]
Poznámka 1
Uvažujme stejné zadání úlohy, ale válec umístníme do kartézské soustavy souřadnic, kde na rozdíl od předchozího zaměníme osy y a z.

Situace bude vypadat následovně:

Pro parametrické vyjádření trajektorie hmotného bodu platí:
\[x = R \cos \omega t\] \[y = v_0t\] \[z = R \sin \omega t. \]
Dále by se příklad řešil analogicky jako v předchozím případě.
Poznámka 2
Uvažujme stejné zadání příkladu. Na rozdíl od prvního ho řešme v soustavě spjaté s válcem. Soustava se tedy otáčí spolu s válcem a hmotný bod se bude pohybovat po úsečce, která má parametrické vyjádření:
\[x = R\] \[y = 0\] \[z = v_0t. \]