Sbírka řešených úloh

„Rozdělený“ RLC obvod

Úloha číslo: 74

V obvodu střídavého proudu s frekvencí 50 Hz a amplitudou napětí 300 V je sériově zařazen kondenzátor neznámé kapacity, rezistor o odporu 50 Ω a cívka s indukčností 0,10 H. Poměr amplitud napětí ve dvou částech obvodu vyznačených na obrázku je U_m1:U_m2 = 1:2. Určete kapacitu kondenzátoru a amplitudu proudu protékající obvodem.

• Zápis

  Ze zadání známe:

  Frekvenci obvodu	f = 50 Hz
  Napětí na zdroji střídavého napětí	Um = 300 V
  Odpor rezistoru v obvodu	R = 50 Ω
  Indukčnost cívky v obvodu	L = 0,10 H
  Poměr napětí vyznačených na obrázku:	Um1:Um2 = 1:2

  Chceme určit:

  Kapacitu kondenzátoru:	C = ? (F)
  Amplitudu proudu protékajícího obvodem:	Im = ? (A)

• Nápověda 1

  V sériovém RLC obvodu platí, že proud protékající jednotlivými prvky zařazenými v obvodu je stejný.

• Nápověda 2

  Části s vyznačenými napětími si můžeme představit jako dva samostatné obvody s daným celkovým napětím. Těmito obvody protéká stejný proud, protože ve skutečnosti jde o sériový RLC obvod.

• Rozbor

  V obvodu na obrázku v zadání úlohy jsme si pomyslně vybrali dvě části. Protože na nich „známe“ amplitudu napětí, můžeme každou část řešit zvlášť jako samostatný obvod. Použijeme Ohmův zákon pro střídavý proud. Oběma obvody protéká stejný proud. Z poměru napětí můžeme vyjádřit kapacitu.

  Amplitudu proudu získáme pomocí Ohmova zákona, který aplikujeme na celý obvod.

• Vyjádření napětí U_m1 a U_m2

  V části obvodu, která náleží napětí U_m1, je zapojena cívka o indukčnosti L a rezistor o odporu R. Cívka je s rezistorem spojena sériově.

  Vyjádříme si impedanci Z₁ této části obvodu:

  \[ Z_1= \sqrt{R^2+(X_\mathrm{L}-X_\mathrm{C})^2}=\sqrt{R^2+X_\mathrm{L}^2}.\]

  Dosadíme ji do Ohmova zákona:

  \[ U_\mathrm{m1}=I_\mathrm{m} Z_1=I_\mathrm{m}\sqrt{R^2+X_\mathrm{L}^2}=I_\mathrm{m} \sqrt{R^2+(\omega L)^2}. \]

  Pro část obvodu, kterému náleží hodnota napětí U_m2, napíšeme podobné vztahy. V tomto obvodu máme sériově zapojen rezistor o odporu R a kondenzátor o neznámé kapacitě C:

  \[ Z_2= \sqrt{R^2+(X_\mathrm{L}-X_\mathrm{C})^2}=\sqrt{R^2+X_\mathrm{C}^2}, \] \[ U_\mathrm{m2}=I_\mathrm{m} Z_2=I_\mathrm{m}\sqrt{R^2+X_\mathrm{C}^2}=I_\mathrm{m} \sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega C)^2}}. \]

• Vyjádření kapacity C a amplitudy proudu I_m

  Ze zadaní známe poměr mezi napětími. Dosadíme do něj vztahy pro napětí, které jsme odvodili v předchozí části:

  \[\frac{U_1}{U_2}= \frac{I_\mathrm{m}\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}{I_\mathrm{m}\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega C)^2}}}.\]

  Amplituda proudu I_m je stejná pro oba výrazy, proto ji můžeme ve zlomku zkrátit:

  \[\frac{1}{2}= \frac{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}{\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega C)^2}}}.\]

  Vyjádříme neznámou kapacitu C:

  \[\dfrac{1}{4}=\dfrac{R^2+(\omega L)^2}{R^2+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}\] \[ R^2+\left(\frac{1}{ \omega C}\right)^2=4\left[R^2+( \omega L)^2\right]\] \[\left(\frac{1}{ \omega C}\right)^2=3R^2+4( \omega L)^2\] \[\left(\omega C\right)^2=\frac{1}{3R^2+4( \omega L)^2}\] \[C=\frac{1}{\omega \sqrt{3R^2+4(\omega L)^2}}.\]

  Z Ohmova zákona pro celý obvod vyjádříme amplitudu proudu. Ze zadání známe amplitudu napětí U_m na zdroji. V obvodu máme zapojeny všechny 3 prvky, a tedy i ve vztahu pro impedanci budou všechny veličiny — rezistance, induktance, kapacitance:

  \[I_m=\frac{U_m}{Z}=\frac{U_m}{\sqrt{R^2+\left({\omega L-\frac{1}{\omega C}}\right)^2}}.\]

• Číselné dosazení

  Kapacita v obvodu:

  \[C=\frac{1}{\omega \sqrt{3R^2+4(\omega L)^2}}=\frac{1}{2 \pi \cdot 50 \sqrt{3{\cdot} 50^2+4(2 \pi\cdot 50{\cdot} 0{,}1)^2}}\,\mathrm{F} \,\dot{=}\, 30 {\cdot} 10^{-6} \,\mathrm{F}=30\,\mathrm{\mu F}.\]

  Amplituda proudu v obvodu:

  \[I_\mathrm{m}=\frac{U_\mathrm{m}}{Z}=\frac{U_\mathrm{m}}{\sqrt{R^2+\left({\omega L-\frac{1}{\omega C}}\right)^2}}=\frac{300}{\sqrt{50^2+\left({2\pi\cdot 50 {\cdot} 0{,}1 - \frac{1}{2 \pi \cdot 50 {\cdot} 30\cdot 10^{-6}}}\right)^2}}\,\mathrm{A}\dot{=}\, 3{,}3 \,\mathrm{A}. \]

• Odpověď

  Kapacita sériově zapojeného kondenzátoru je přibližně 30 μF.

  Amplituda střídavého proudu v obvodu je asi 3,3 A.