Nestacionární stav 2

Úloha číslo: 700

Částice se nachází v nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky L:

V(x) = 0 pro 0 ≤ xL a V(x) → ∞ pro x < 0 a x > L.

Nekonečně hluboká jednorozměrná potenciálová jáma

Její stav v čase t = 0 popisuje vlnová funkce

\(\psi(x)=N \,\sin\left(\frac{3\pi x}{2L}\right)\,\cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right)\) pro 0 ≤ xL a

\(\psi(x)=0\) pro x < 0 a x > L.

 

1) Určete normovací konstantu N.

2) Jaké energie částice je možno naměřit a s jakou pravděpodobností?

  • Nápověda k 1

    Co to znamená normovat vlnovou funkci (jde-li o funkci jedné souřadnicové proměnné x?

  • Nápověda – vzorce pro goniometrické funkce

    Při řešení by se vám pro urychlení výpočtu mohla hodit následující identita:

     

    \[ \cos y\, \cos3y = \cos y\,(\cos y\, \cos 2y \,-\, \sin y\, \sin 2y) =\cos y\, [\cos y\, (\cos^2 y \,-\, \sin^2 y) \,-\, \sin y\, 2\, \sin y\, \cos y]=\]

    \[=\cos^2 y\, (\cos^2 y \,-\, 3\, \sin^2 y)=\cos^2 y\, (1 \,-\, 4\, \sin^2 y)=\frac{1}{2}\, (1\,+\,\cos 2y) [1\,-\,2\,(1\,-\,\cos 2y)]=\]

    \[=\frac{1}{2}\, (1\,+\,\cos 2y)\,(2\,\cos 2y\,-\,1)=\frac{1}{2}\,(2\,\cos^2 2y\,+\,\cos 2y\,-\,1)=\frac{1}{2}\,(1\,+\,\cos 4y\,+\,\cos 2y\,-\,1)=\]

    \[=\frac{1}{2}\,(\cos 4y\,+\,\cos 2y),\]

     

    tedy rovnost

    \[\cos y\, \cos3y = \frac{1}{2}\,(\cos 4y\,+\,\cos 2y).\]

  • Řešení 1

    Mimo interval <0, L> je vlnová funkce identicky rovna nule. Dle normovací podmínky tedy musí platit

    \[ 1=\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 \,\mbox{d}x=\int_{0}^{L} |\psi(x)|^2 \,\mbox{d}x, \] \[ 1=\int_{0}^{L} N^2 \,\sin^2\left(\frac{3\pi x}{2L}\right)\,\cos^2\left(\frac{\pi x}{2L}\right) \,\mbox{d}x. \]

    Dále užitím vztahů pro sinus a kosinus polovičního argumentu (a vynásobením celé rovnice čtyřmi) dostáváme

    \[\hspace{20px}\frac{4}{N^2}=\int_0^L \left[ 1\,-\,\cos\left( \frac{3\pi x}{L} \right)\right]\,\left[1\,+\,\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x,\] \[\hspace{20px}\frac{4}{N^2}=\int_0^L \left[1+\cos{\left(\frac{\pi x}{L}\right)}-\cos\left( \frac{3\pi x}{L} \right) -\cos\left( \frac{3\pi x}{L} \right) \cdot\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x.\]

    S využitím identity uvedené v předcházející nápovědě upravíme tento výraz na

    \[\frac{4}{N^2}=\int_0^L \left[1+\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)-\cos\left( \frac{3\pi x}{L} \right)-\frac{1}{2}\cos\left( \frac{4\pi x}{L} \right)-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]\,\mbox{d}x.\]

    Zintegrováním dostáváme

    \[\frac{4}{N^2}=\left[x+\,\frac{L}{\pi}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)-\frac{L}{3\pi}\sin\left( \frac{3\pi x}{L} \right)-\frac{L}{8\pi}\sin\left( \frac{4\pi x}{L} \right)-\frac{L}{4\pi}\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]_{\,0}^{\,L}=L,\] odkud již plyne \[N=\frac{2}{\sqrt{L}}.\]

  • Nápověda ke 2 první

    Jaká je pravděpodobnost naměření energie \(E_n\), která je vlastním číslem příslušným vlastní funkci \(\psi_n\), je-li \[\psi=\sum_n a_n \psi_n\] rozklad normované vlnové funkce do báze normovaných vlastních funkcí hamiltoniánu?

  • Nápověda ke 2 druhá

    Najděte vlastní funkce hamiltoniánu pro tento případ. V oblasti 0 ≤ xL jsou řešením nečasové Schrödingerovy rovnice \[\frac{\mbox{d}^2\psi}{\mbox{d}x^2}\,+\,\frac{2mE}{\hbar^2}\,\psi=0\] a v krajních bodech jámy spojitě navazují na konstantně nulovou vlnovou funkci vně jámy.

  • Nápověda ke 2 třetí

    Vyjádřete funkci ψ(x) jako lineární kombinaci vlastních funkcí hamiltoniánu odpovídajícího dané situaci.

  • Řešení 2

    Bázi normovaných vlastních funkcí hamiltoniánu tvoří funkce

    \[\hspace{30px}\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\left(\frac{n\pi x}{L} \right)\,,\] n = 1, 2, ... (odvození viz druhá nápověda ke 2).

    Normovaná vlnová funkce

    \[\psi(x)=\frac{2}{\sqrt{L}} \,\sin\left(\frac{3\pi x}{2L}\right)\,\cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right)\]

    je superpozicí základního a prvního excitovaného stavu:

    \[\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,+\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\,,\] \[\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\psi_1(x)\,+\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,\psi_2(x)\,.\]

    (Podrobné odvození najdete v řešení předcházející nápovědy.)

    Pravděpodobnost naměření energie En je rovna kvadrátu absolutní hodnoty koeficientu an v rozkladu vlnové funkce do báze vlastních funkcí hamiltoniánu. V našem případě je tedy pravděpodobnost naměření energie \[E_1=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL}\] rovna \[\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1}{2}\] a taktéž pravděpodobnost naměření energie \[E_2=4E_1=\frac{2\hbar^2 \pi^2}{mL}\] je rovna \[\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1}{2}\,.\]

  • Odpovědi

    1) Normovací konstanta \[N=\frac{2}{\sqrt{L}}\,.\]

    2) Pravděpodobnost naměření energie \[E_1=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL}\] je 50 % a rovněž tak pravděpodobnost naměření energie \[E_2=4E_1=\frac{2\hbar^2 \pi^2}{mL}\] je 50 %.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze