Korálek vs. elektron

Úloha číslo: 680

Částice o hmotnosti m se nachází někde na úsečce délky L.

a) S využitím principu neurčitosti odhadněte nejmenší možnou kinetickou energii této částice.

b) Vypočtěte tuto energii pro případ korálku o hmotnosti 1 g, který je vázán na šňůrku o délce 10 cm.

c) Vypočtěte tuto energii pro případ elektronu na úsečce délky 0,1 nm, což je typický rozměr atomu.

Uvědomte si, že jde pouze o hrubý odhad! Přesnou hodnotu bychom získali až řešením Schrödingerovy rovnice. Částici, která se může pohybovat jen v jednom rozměru na úsečce délky L, můžeme vnímat jako částici v nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky L, která se nemůže dostat za hranice této jámy. Úlohy zabývající se touto problematikou najdete v sekci Nekonečně hluboká potenciálová jáma této sbírky.

  • Nápověda

    Jaká relace neurčitosti omezuje přesné určení polohy částice?

    Jak spolu souvisí kinetická energie a hybnost částice?

  • Řešení

    a) Minimální kinetickou energii najdeme jako

    \[E_{\mbox{min}}=\frac{1}{2m}\langle p^2 \rangle_{\mbox{min}} .\]

    Pro neurčitost hybnosti Δp platí

    \[(\Delta p)^2=\langle p^2 \rangle\,-\,\langle p \rangle^2 .\]

    Vzhledem k tomu, že úsečka omezující pohyb částice je v klidu a částice se na ní může pohybovat stejnoměrně doleva i doprava, musí být střední hodnota její hybnosti nulová, tedy \(\langle p \rangle = 0\) a platí

    \[\langle p^2 \rangle = (\Delta p)^2\,+\,\langle p \rangle^2=(\Delta p)^2\,+\,0=(\Delta p)^2 .\]

    Podobně pro neurčitost polohy Δx platí

    \[(\Delta x)^2=\langle x^2 \rangle\,-\,\langle x \rangle^2 .\]

    Umístíme-li naši jámu mezi body x = −L/2 a x = L/2, musí být ze symetrie problému střední hodnota její polohy nulová, tedy <x> = 0 a platí

    \[(\Delta x)^2=\langle x^2 \rangle\,-\,0=\langle x^2 \rangle ,\] \[(\Delta x)^2=\frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}x^2\,\mbox{d}x ,\] \[(\Delta x)^2=\frac{1}{L}\,\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-L/2}^{L/2} ,\] \[(\Delta x)^2 = \frac{L^2}{12} .\]

    Z relace neurčitosti ve tvaru

    \[(\Delta x)^2\,\cdot\,(\Delta p)^2 \ge \frac{\hbar^2}{4}\]

    nyní můžeme odvodit, že

    \[(\Delta p)^2 \ge \frac{\hbar^2}{4}\,\frac{1}{(\Delta x)^2} ,\] \[(\Delta p)^2 \ge \frac{\hbar^2}{4}\,\frac{12}{L^2} ,\] \[(\Delta p)^2 \ge \frac{3\hbar^2}{L^2} .\]

    Minimální kinetická energie částice je tedy rovna

    \[E_{\mbox{min}}=\frac{1}{2m}\langle p^2\rangle=\frac{3\hbar^2}{2mL^2} .\]

    Je však třeba mít na mysli, že jde pouze o přibližný odhad. Přesnou hodnotu nejnižší možné energie uvažované částice bychom našli řešením Schrödingerovy rovnice jako nejmenší vlastní číslo hamiltoniánu pro danou situaci. (Podrobně řešeno v úloze Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma této sbírky.)

    Zůstaneme-li u tohoto přibližného odhadu vyplývajícího z relace neurčitosti, máme po dosazení zadaných hodnot

    b) \[E_{\mbox{min}}=\frac{3\,\cdot\,\left(1{,}055{\cdot}10^{-34}\,\mbox{J s}\right)^2}{2\,\cdot\,10^{-3}\,\mbox{kg}\,\cdot\,\left(0{,}1\,\mbox{m}\right)^2}\,\dot{=}\,1{,}67{\cdot}10^{-63}\ \mbox{J}\,\dot{=}\,1{,}04{\cdot}10^{-44}\ \mbox{eV} ,\]

    c) \[E_{\mbox{min}}=\frac{3\,\cdot\,\left(1{,}055{\cdot}10^{-34}\,\mbox{J s}\right)^2}{2\,\cdot\,9{,}11{\cdot}10^{-31}\,\mbox{kg}\,\cdot\,\left(10^{-10}\,\mbox{m}\right)^2}\,\dot{=}\,1{,}83{\cdot}10^{-18}\ \mbox{J}\,\dot{=}\,11{,}4\ \mbox{eV} .\]

  • Odpověď

    a) Energie částice o hmotnosti m nacházející se někde na úsečce délky L je rovna minimálně \[\,\frac{3\hbar^2}{2mL^2} .\]

    b) Energie korálku o hmotnosti 1 g, který je vázán na šňůrku o délce 10 cm, je rovna minimálně 1,04·10−44 eV. Pohyb odpovídající takové kinetické energii je zcela nepozorovatelný.

    c) Energie elektronu na úsečce délky 0,1 nm je rovna minimálně 11,4 eV.

  • Komentář

    Minimální energie, kterou najdeme řešením Schrödingerovy rovnice pro částici o hmotnosti m v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L, je rovna

    \[E_1=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} .\]

    (Podrobné odvození najdete v úloze Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma této sbírky.)

    To je \(\frac{\pi^2}{3}\,\dot{=}\,3{,}3\)-krát více, než v našem odhadu vycházejícím z relace neurčitosti.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze