Dvojkyvadlo

Úloha číslo: 637

A) Napište lagrangián rovinného matematického dvojkyvadla, tj. dvou hmotných bodů o hmotnostech m1, m2 na nehmotných vláknech délek l1, l2, přičemž druhé kyvadlo je uchyceno na prvním.

B) Sestavte a vyřešte Lagrangeovy rovnice II. druhu v přiblížení pro malé kmity v případě rovnosti délek obou závěsů a hmotností obou závaží.

Základní situace
  • Nápověda 1

    Projděte si úlohy Matematické kyvadlo a Dvě pružinky.

    Postup řešení bude obdobný jako v úloze Dvě pružinky, ale popis a aproximace pro malé kmity bude probíhat podobně jako v úloze Matematické kyvadlo.

  • Nápověda 2

    Kolik má systém stupňů volnosti? Kolik budeme potřebovat zobecněných souřadnic?

  • Nápověda 3

    Určit kinetickou a potenciální energii umíme dobře v kartézských souřadnicích. Zapište v nich polohu závaží obou kyvadel s použitím výchylek φ1, φ2.

    Volba souřadnic
  • Nápověda 4

    Kinetickou energii spočítáme podle vztahu:

    \[T = \frac{1}{2}mv^2\ .\]

    Budeme tedy potřebovat určit kvadrát velikosti rychlostí obou kyvadel. Využijte časové derivace vztahů, které jsme odvodili v předešlé sekci.

  • Nápověda 5

    Potenciální energii určíme snadno. Stačí si uvědomit, že pokud máme kartézskou osu y orientovanou dolů, ve směru tíhového zrychlení, pak pro hmotný bod o hmotnosti m platí:

    \[V = -mgy\ .\]

    Upravte tento vztah pro dvojkyvadlo s použitím zobecněných souřadnic φ1, φ1.

  • Řešení A

    Dvojkyvadlo má dva stupně volnosti. Za zobecněné souřadnice vezmeme výchylky obou kyvadel od svislé osy φ1, φ2.

    Volba souřadnic

    Zapíšeme vztahy mezi kartézskými a zobecněnými souřadnicemi:

    \[x_1 = l_1 \sin \varphi_1\] \[y_1 = l_1 \cos \varphi_1\] \[x_2 = l_1 \sin \varphi_1 + l_2 \sin \varphi_2\] \[y_2 = l_1 \cos \varphi_1 + l_2 \cos \varphi_2\ .\]

    Pro složky rychlostí obou kyvadel odtud platí:

    \[\dot{x}_1 = l_1\dot{\varphi}_1 \cos \varphi_1\] \[\dot{y}_1 = -l_1 \dot{\varphi}_1 \sin \varphi_1\] \[\dot{x}_2 = l_1\dot{\varphi}_1 \cos \varphi_1 + l_2\dot{\varphi}_2 \cos \varphi_2\] \[\dot{y}_2 = -l_1 \dot{\varphi}_1 \sin \varphi_1-l_2 \dot{\varphi}_2 \sin \varphi_2\ .\]

    a pro velikosti rychlostí dostáváme:

    \[|\vec{v_1}|^2 = \dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2 = l_1^2\dot{\varphi}_1^2\ ,\] \[|\vec{v_2}|^2 = \dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2 =l_1^2\dot{\varphi}_1^2 + l_2^2\dot{\varphi}_2^2 +2l_1l_2\dot{\varphi}_1\dot{\varphi}_2(\cos\varphi_1\cos\varphi_2 - \sin\varphi_1\sin\varphi_2)\ .\]

    Odtud kinetická energie:

    \[T = \frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^2\dot{\varphi_1}^2 + \frac{1}{2}m_2l_2^2\dot{\varphi_2}^2 +m_2l_1l_2\dot{\varphi_1}\dot{\varphi_2}\cos(\varphi_1-\varphi_2).\]

    Pro potenciální energii vzhledem ke kartézským souřadnicím y1, y2 platí:

    \[V(y_1, y_2) = -m_1gy_1 - m_2gy_2\ .\]

    S použitím transformačních vztahů dostáváme:

    \[V(\varphi_1, \varphi_2) = -(m_1 + m_2)gl_1\cos \varphi_1 - m_2gl_2\cos\varphi_2\ .\]

    Odtud lagrangián:

    \[L = T-V =\] \[= \frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^2\dot{\varphi_1}^2 + \frac{1}{2}m_2l_2^2\dot{\varphi_2}^2 +m_2l_1l_2\dot{\varphi_1}\dot{\varphi_2}\cos(\varphi_1-\varphi_2) + (m_1 + m_2)gl_1\cos \varphi_1 + m_2gl_2\cos\varphi_2\ .\]
  • Nápověda 6

    Upravte lagrangián podle zadání pro případ B (rovnost hmotností obou závaží, rovnost délek obou závěsů).

    Prohlédněte si aproximaci pro malé kmity v úloze Vozík s kyvadlem. Budeme postupovat podobně. Zanedbáváme členy třetího a vyššího řádu malosti.

    Budeme používat přibližný vzorec pro malá φ:

    \[\cos \varphi \approx 1-\frac{\varphi^2}{2}\ .\]

    Nezapomínejte, že za malé považujeme i rychlosti \(\dot{\varphi}_1\), \(\dot{\varphi}_2\).

    Násobením členů, které považujeme za malé, můžeme dostat zanedbatelný člen.

  • Nápověda 7

    Obecný tvar Lagrangeových rovnic II. druhu zní:

    \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\frac{\partial L}{\partial {q}_{j}} = 0\ ,\] pro j = 1, 2 ... n,

    kde qj je j-tá zobecněná souřadnice hmotného bodu a L Lagrangeova funkce.

    Dosaďte do tohoto vzorce lagrangián \(\tilde{L}\).

    V této úloze máme dvě zobecněné souřadnice. Dostaneme tedy soustavu dvou rovnic.

  • Nápověda 8

    Projděte si způsob řešení rovnic v úloze Dvě pružinky. Budeme postupovat stejně.

    Protože se jedná o homogenní soustavu dvou lineárních diferenciálních rovnic 2. řádu s konstantními koeficienty, zkusme předpokládat řešení ve tvaru:

    \[\varphi_1 = A_1e^{i\omega t}\] \[\varphi_2 = A_2e^{i\omega t}\ ,\]

    kde A1, A2 jsou obecně komplexní konstanty.

    Fyzikálně bráno, očekáváme, že kyvadla se budou kývat se stejnou frekvencí a hledáme úhlovou frekvenci jejich pohybu.

  • Řešení B – mody kmitání

    Do soustavy Lagrangeových rovnic dosadíme předpokládaná řešení:

    \[\varphi_1 = A_1e^{i\omega t}\] \[\varphi_2 = A_2e^{i\omega t}\ .\]

    Po úpravě dostáváme soustavu rovnic:

    \[-2\omega^2A_1 -\omega^2A_2 + 2\frac{g}{l}A_1 = 0\] \[-\omega^2A_1 -\omega^2A_2 + \frac{g}{l}A_2 = 0\ .\]

    V maticovém zápisu:

    \[\left( \begin{matrix} -2\omega^2 + 2\frac{g}{l} & -\omega^2 \\ -\omega^2 & -\omega^2 + \frac{g}{l} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} A_1\\ A_2 \end{matrix} \right) =0 \ .\]

    Na tuto soustavu rovnic se můžeme dívat jako na podmínky svazující navzájem velikost amplitud kmitů obou kyvadel v závislosti na parametru ω, který má fyzikální význam úhlové frekvence. Jedná se o homogenní soustavu lineárních rovnic, proto bude mít netriviální řešení pouze v případě, že determinant matice soustavy je roven nule:

    \[\det \left( \begin{matrix} -2\omega^2 + 2\frac{g}{l} & -\omega^2 \\ -\omega^2 & -\omega^2 + \frac{g}{l} \end{matrix} \right) = 0\ .\]

    Výpočet tohoto determinantu vede k rovnici:

    \[\omega^4 - 4\frac{g}{l}\omega^2 + 2(\frac{g}{l})^2 = 0\ .\]

    Jako rovnice čtvrtého řádu by byla poměrně obtížně řešitelná. Můžeme se na ni ovšem podívat jako na bikvadratickou rovnici (rovnici s neznámou ω2). Navíc víme, že parametr ω má fyzikální význam úhlové frekvence. Musí být tedy reálný a kladný. Těmto podmínkám vyhovují pouze dvě řešení této rovnice – dva mody kmitání:

    \[\omega_1 = \sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}\] \[\omega_2 = \sqrt{2-\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}\ .\]
  • Řešení B – svazující podmínky

    V předchozí části řešení jsme určili úhlové frekvence dvou možných modů kmitání dvojkyvadla. Amplitudy kmitání v jednotlivých modech ovšem nejsou nezávislé. Je potřeba je dopočítat.

    Máme soustavu rovnic:

    \[-2\omega^2A_1 -\omega^2A_2 + 2\frac{g}{l}A_1 = 0\] \[-\omega^2A_1 -\omega^2A_2 + \frac{g}{l}A_2 = 0\ .\]

    Pro amplitudu kmitání m-tého kyvadla v n-tém modu zavedeme značení Amn.

    Nejprve dosadíme úhlovou frekvenci prvního modu

    \[\omega_1 = \sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}\]

    do první rovnice a dostáváme:

    \[-2(2+\sqrt{2})\frac{g}{l}A_{11} -(2+\sqrt{2})\frac{g}{l}A_{21} + 2\frac{g}{l}A_{11} = 0\ .\]

    Po úpravě a usměrnění zlomku:

    \[A_{21} = -\sqrt{2}A_{11}\ .\]

    Vztah můžeme pro kontrolu dosadit do druhé rovnice.

    Analogicky pro druhý mod dostaneme svazující podmínku:

    \[A_{22} = +\sqrt{2}A_{12}\ .\]

    Soustava rovnic byla díky aproximaci pro malé kmity lineární. Obecné řešení je tedy dáno součtem řešení pro oba mody, tedy:

    \[\varphi_1(t) = A_{11}e^{i\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}t} + A_{12}e^{i\sqrt{2-\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}t}\] \[\varphi_2(t) = -\sqrt{2}A_{11}e^{i\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}t} + \sqrt{2} A_{12}e^{i\sqrt{2-\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}t}\]

    a pokud přejdeme ke goniometrickému tvaru a analogicky označeným reálným konstantám Bmn dostaneme:

    \[\varphi_1(t) = B_{11}\sin(\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}t+\Phi_{1}) + B_{12}\sin(\sqrt{2-\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}t+\Phi_{2})\] \[\varphi_2(t) = -\sqrt{2}B_{11}\sin(\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}t+\Phi_{1}) + \sqrt{2} B_{12}\sin(\sqrt{2-\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}t+\Phi_{2})\ ,\]

    kde Φn jsou počáteční fáze v n-tém modu.

  • Odpověď

    Lagrangián rovinného dvojkyvadla je:

    \[L = \frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^2\dot{\varphi_1}^2 + \frac{1}{2}m_2l_2^2\dot{\varphi_2}^2 +m_2l_1l_2\dot{\varphi_1}\dot{\varphi_2}\cos(\varphi_1-\varphi_2) +(m_1 + m_2)gl_1\cos \varphi_1 + m_2gl_2\cos\varphi_2\ ,\]

    kde φ1, φ1 jsou okamžité výchylky jednotlivých kyvadel od svislé osy.

    Pro případ rovnosti hmotností obou závaží a délky obou závěsů jsme pro malé kmity dostali řešení Lagrangeových rovnic II. druhu:

    \[\varphi_1(t) = B_{11}\sin(\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}t+\Phi_{1}) + B_{12}\sin(\sqrt{2-\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}t+\Phi_{2})\] \[\varphi_2(t) = -\sqrt{2}B_{11}\sin(\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}t+\Phi_{1}) + \sqrt{2} B_{12}\sin(\sqrt{2-\sqrt{2}}\sqrt{\frac{g}{l}}t+\Phi_{2})\ ,\]

    kde B11, B12 jsou konstanty o fyzikálním významu amplitud kmitání prvního závaží v jednotlivých modech a Φn jsou počáteční fáze v n-tém modu.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Zaslat komentář k úloze