Přímý vodič

Úloha číslo: 274

Přímý vodič o délce 60 m je rovnoměrně nabit nábojem +0,2 nC. Určete intenzitu elektrického pole v bodě A, ležícím 10 cm od konce vodiče ve směru jeho prodloužení.

  • Nápověda: Označení veličin a obrázek

    Délku vodiče označíme písmenem l a vzdálenost konce nabitého vodiče od bodu A písmenem d.

    Nyní zvolíme soustavu souřadnic a nakreslíme si obrázek. Počátek soustavy souřadnic zvolíme v bodě A.

    Zvolená soustava souřadnic
  • Nápověda: Souvislost s bodovým nábojem

    Kladný bodový náboj Q vytváří ve vzdálenosti r elektrické pole o intenzitě

    \[E\,=\, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{Q}{r^2}\,.\]

    Vektor intenzity míří od náboje.

    Zamyslete se nad tím, jak můžeme tohoto poznatku využít v této úloze.

  • Rozbor

    Nejprve zvolíme soustavu souřadnic. Celý vodič bude ležet na ose x a bod A umístíme do počátku. V tomto případě bude vektor intenzity ležet také na ose x.

    Vodič rozdělíme na malé části, které se budou chovat jako kladné bodové náboje. Celkovou intenzity pak získáme zintegrováním příspěvků intenzit od jednotlivých kousků vodiče.

    Vektor intenzity má pro jednotlivé příspěvky vždy stejný směr, míří od vodiče ve směru osy x. Celková intenzita bude mít tedy také tento směr.

  • Řešení

    Nejprve zvolíme soustavu souřadnic.

    Počátek zvolíme v bodě A. Vodič bude ležet na ose x ve vzdálenosti d od bodu A (tzn. od počátku). Konce vodiče budou mít tedy souřadnice d a d + l.

    Zvolená soustava souřadnic

    Víme, že kladný bodový náboj o velikosti Q vytváří ve vzdálenosti r elektrické pole o intenzitě:

    \[E\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{Q}{r^2}\,.\]

    Vektor intenzity míří směrem od náboje.

    Vodič si tedy rozdělíme na malé části délky dx, které budou nabity nábojem dQ = λdx a které se budou chovat jako bodový náboj. λ je délková hustota náboje.

    Intenzita od nabitého kousku vodiče

    Jeden takový kousek vodiče bude tedy v bodě A (který je ve vzdálenosti x) vytvářet elektrické pole s intenzitou o velikosti:

    \[\mathrm{d}E\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{\mathrm{d}Q}{r^2}\,=\,\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{\lambda \mathrm{d}x}{x^2}\,.\tag{*}\]

    Vektor intenzity má pro jednotlivé příspěvky vždy stejný směr, míří od vodiče ve směru osy x. Celková intenzita bude mít tedy také tento směr.

    Celkovou intenzitu získáme integrací jednotlivých příspěvků přes celou délku vodiče.

    \[E\,=\int_{d}^{\small d+l} \mathrm{d}E\]

    Za jednotlivé příspěvky dosadíme ze vzorce (*)

    \[E\,=\int_{d}^{\small d+l} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\, \frac{\lambda \mathrm{d}x}{x^2}\,.\]

    Konstanty vyjmeme před integrál

    \[E\,=\,\frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0}\int_{d}^{\small d+l} \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x\]

    a určitý integrál vypočítáme.

    \[E\,=\,\frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0}\,\left[ -\frac{1}{x}\right]_{d}^{\small d+l}\,=\,\frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0}\,\left(-\,\frac{1}{d+l}\,+\, \frac{1}{d}\right) \]

    Výraz v závorce převedeme na společného jmenovatele.

    \[E\,=\,\frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{-d+d+l}{d \left( d+l\right)} \,=\,\frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{l}{d \left( d+l\right)}\]

    Nyní zbývá už jen vyjádřit nábojovou hustotu λ pomocí celkového náboje Q a délky vodiče l

    \[\lambda\,=\,\frac{Q}{l}\]

    a dosadit do vzorce:

    \[E\,=\,\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 l}\,\frac{l}{d \left( d+l\right)}\,=\,\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 }\,\frac{1}{d \left( d+l\right)}\,.\]

    Získali jsme velikost intenzity elektrického pole ve vzdálenosti d od konce vodiče.

  • Zápis a číselný výpočet

    Q = 0,2 nC = 2 · 10−10 C

    l = 60 cm = 0,6 m

    d = 10 cm = 0,1 m

    E = ? (V m−1)

    Z tabulek:

    ε0 = 8,85 · 10−12 C2 N−1 m−2
    \[ \begin{eqnarray} E\,& =& \,\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 }\,\frac{1}{d \left( d+l\right)}\,=\,\frac{2\cdot\,10^{-10}}{4 \pi 8{,}85{\cdot}10^{-12} }\,\frac{1}{0{,}1 \left( 0{,}1\,+\,0{,}6\right)}\,\mathrm{V\,m^{-1}}\\ E\,& \dot=& \,25{,}69\,\mathrm{V\,m^{-1}} \end{eqnarray}\]
  • Odpověď

    Intenzita elektrického pole ve vzdálenosti d = 10 cm od konce vodiče má velikost:

    \[E\,=\,\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 }\,\frac{1}{d \left( d+l\right)}\,\dot=\,25{,}69\,\mathrm{V\,m^{-1}}\,.\]

    Vektor elektrické intenzity míří od vodiče.

  • Odkaz

    Velikost intenzity v místech mimo přímku, na které leží vodič, je spočtena v úloze Nabitá úsečka.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Hubeňák, J. (1997). Řešené úlohy z elektřiny a magnetismu –
Proseminář z fyziky na střední škole a studující učitelství fyziky
v I. Ročníku. MAFY, Hradec Králové.
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
×Původní zdroj: Hubeňák, J. (1997). Řešené úlohy z elektřiny a magnetismu – Proseminář z fyziky na střední škole a studující učitelství fyziky v I. Ročníku. MAFY, Hradec Králové.
Zpracováno v diplomové práci Lenky Matějíčkové (2010).
Zaslat komentář k úloze