Sbírka řešených úloh

Paralelní zapojení reálných zdrojů

Úloha číslo: 2149

• Odkaz – metoda lineární superpozice

  O tom, co je linearní superpozice a jak ji lze použít na příklady tohoto typu, se můžete dočíst na odkazu Metoda lineární superpozice.

• Rozbor

  

  Metodou lineární superpozice vyjádříme proud I procházející rezistorem o odporu R. Výsledný vztah poté srovnáme s Ohmovým zákonem pro uzavřený obvod a odsud určíme hledané elektromotorické napětí a vnitřní odpor náhradního zdroje.

  Stručně o metodě lineární superpozice:

  Metodu lineární superpozice používáme v obvodech, ve kterých působí více zdrojů elektrické energie. Proud na vybraném prvku se určí tak, že necháme v obvodu zapojený jen jeden zdroj napětí a ostatní zdroje napětí nahradíme jejich vnitřním odporem. Stanovíme proud na uvažovaném prvku v takto upraveném obvodu. Toto provedeme postupně pro každý zdroj. Výsledný proud na uvažovaném prvku je potom součet proudů vyvolaných jednotlivými zdroji samostatně.

• Řešení

  Úlohu řešíme metodou lineární superpozice. Necháme první zdroj napětí, ostatní zdroje nahradíme jejich vnitřními odpory a vyjádříme proud procházející rezistorem o odporu R.

  

  Nejprve vyjádříme celkový odpor zapojení. V obvodu je \((n-1)\) paralelně zapojených rezistorů s odporem \(R_\mathrm{i}\) k nim je paralelně zapojen rezistor o odporu R a tato soustava rezistorů je v sérii s odporem \(R_\mathrm{i}\).

  Celkový odpor \((n-1)\) paralelně zapojených rezistorů s odporem \(R_\mathrm{i}\) se spočítá jako

  \[\frac{1}{R_\mathrm{v1}}=\frac {1}{R_\mathrm{i}} + ... + \frac {1}{R_\mathrm{i}}= \frac {n-1}{R_\mathrm{i}},\] \[{R_\mathrm{v1}}=\frac {R_\mathrm{i}} {n-1}.\]

  Připojíme-li paralelně k tomuto rezistoru rezistor o odporu R, výsledný odpor bude

  \[\frac {1}{R_\mathrm{v2}}=\frac {1}{\frac {R_\mathrm{i}} {n-1}} + \frac {1}{R}, \] \[R_\mathrm{v2}=\frac {R_\mathrm{i} R} {(n-1)R + R_\mathrm{i}}.\]

  Tento výsledný odpor je v sérii s vnitřním odporem zdroje, celkový odpor zapojení:

  \[R_\mathrm{c}=R_\mathrm{i} + \frac {R_\mathrm{i} R} {(n-1)R + R_\mathrm{i}}.\]

  Z Ohmova zákona vyjádříme proud \(I_1\), což je proud, který prochází obvodem na obrázku:

  \[I_1 = \frac {U_\mathrm{e}}{R_\mathrm{i} + \frac {R_\mathrm{i} R} {(n-1)R + R_\mathrm{i}}} = \frac {U_\mathrm{e}[(n-1)R+R_\mathrm{i}]}{R_\mathrm{i}^2 +(n-1)RR_\mathrm{i} + R_\mathrm{i}R}=\frac {U_\mathrm{e}[(n-1)R+R_\mathrm{i}]}{R_\mathrm{i}^2 +nRR_\mathrm{i}},\]

  který se rozdělí do jednotlivých větví paralelního zapojení \((n-1)\) rezistorů s odporem \(R_\mathrm{i}\) a rezistoru s odporem \(R\). Při výpočtu proudu \(I_\mathrm{R1}\) rezistorem s odporem \(R\) využijeme toho, že v paralelním zapojení se proud rozdělí v obráceném poměru k odporům

  \[\frac{I_\mathrm{R1}}{I_1} = \frac{R_\mathrm{v2}}{R},\]

  odkud vyjádříme

  \[I_\mathrm{R1} = \frac{U_\mathrm{e}[(n-1)R+R_\mathrm{i}]}{R_\mathrm{i}^2 +nRR_\mathrm{i}} \frac{\frac{R_\mathrm{i} R}{(n-1)R + R_\mathrm{i}}}{R} = \frac{U_\mathrm{e}}{R_\mathrm{i} +nR}. \]

   

  Jelikož máme v zadaném obvodu stejné zdroje, příspěvek k proudu rezistorem \(R\) od každého zdroje bude stejný. Proud procházející rezistorem \(R\) bude

  \[I=nI_\mathrm{R1} =\frac{n U_\mathrm{e} }{R_\mathrm{i} +nR}. \]

  Ohmův zákon pro uzavřený obvod má obecně tvar

  \[I=\frac{U_\mathrm{e}}{R_\mathrm{i} + R}.\]

  Proud procházející rezistorem o odporu R upravíme do tvaru Ohmova zákona pro uzavřený obvod:

  \[I=\frac{nU_\mathrm{e}}{R_\mathrm{i} + nR}=\frac{U_\mathrm{e}}{\frac{R_\mathrm{i}}{n} +R}.\]

  Porovnáním s Ohmovým zákonem pro uzavřený obvod, získáme

  \[U_\mathrm{e,v} = U_\mathrm{e}.\] \[R_\mathrm{i,v} = \frac {R_\mathrm{i}}{n}.\]

  K čemu je to dobré?

  Paralelní zapojení zdrojů nám zmenší vliv vnitřního odporu a zvýší dodávaný proud.

• Odpověď

  Elektromotorické napětí zdroje, kterým bychom nahradili n paralelně zapojených zdrojů, je \( U_\mathrm{e,v} = U_\mathrm{e}\) a odpor tohoto zdroje je \(R_\mathrm{i,v} = \frac {R_\mathrm{i}}{n}.\)