Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Přímá integrace II. (Volný pád)

Úloha číslo: 1717

Uvažme volný pád, pohyb tělesa o hmotnosti \(m\) v homogenním tíhovém poli Země o konstantním gravitačním zrychlení \(g\). Těleso vypustíme ve výšce \(h_0\) nad povrchem země při \(v_0=0\). Účinek odporových sil prostředí zanedbejme. Naším úkolem je určit funkce popisující rychlost a výšku tělesa v libovolném čase. Jinými slovy, hledáme funkce \(v(t)\) a \(x(t)\).
  • Motivace

    Rovnice typu \(y'=f(x)\), přímá integrace

    Za předpokladu, že lze pravou stranu rovnice integrovat na intervalu \(I\) (čímž budeme nadále v tomto kontextu rozumět, že k dané funkci lze na \(I\) nalézt příslušnou primitivní funkci), získáme hledané obecné řešení přímou integrací

    \[y(x)=\int{f(x)}\mathrm{d}x \,.\]

    Obdržíme tak

    \[y(x)=F(x)+C\,,\]

    kde \(C\) je integrační konstanta a \(F(x)\) primitivní funkce k \(f(x)\) na \(I\). Řešení celé diferenciální rovnice tak přechází v hledání primitivní funkce.

  • Znázornění situace a pohybová rovnice

    Nejprve se zaměřte na zmatematizování fyzikálního problému. Situaci graficky znázorněte, proveďte rozbor sil a následně sestavte příslušnou pohybovou rovnici.

  • Vydobytí diferenciální rovnice

    Pomocí definice zrychlení ze získané pohybové rovnice vydobyjte kýženou rovnici diferenciální, jejíž řešení povede k hledané funkci \(v(t)\).

  • Řešení získané diferenciální rovnice

    V souladu s motivačním úvodem úlohy nyní pomocí přímé integrace nalezněte hledané řešení získané diferenciální rovnice.

  • Vydobytí druhé diferenciální rovnice

    Skrze definici rychlosti vydobuďte diferenciální rovnici vedoucí k hledané funkci \(x(t)\).

  • Řešení druhé získané diferenciální rovnice

    V souladu s motivačním úvodem úlohy nyní pomocí přímé integrace nalezněte hledané partikulární řešení druhé získané diferenciální rovnice.

  • Řešení

    Protože se těleso pohybuje po přímce kolmé k povrchu Země, vystačíme si s jednodimenzionálním přiblížením, kdy na těleso působí pouze tíhová síla \(F_{g}=-mg\) proti směru osy \(x\) a \(x\)-ová souřadnice značí aktuální výšku tělesa nad povrchem, viz obrázek 2.1.

    volný pád

    Z druhého Newtonova zákona \( F=ma \), volně přeloženého jako: když zrychlení, tak síla}, získáváme pohybovou rovnici

    \[ma=-mg\,.\]

    Obě strany získané pohybové rovnice krátíme \(m\). Dále využijeme skutečnosti, že zrychlení udává změnu rychlosti za čas. Což v řeči derivací znamená \(a=\dot{v}\). Celou rovnici tak přepíšeme následujícím způsobem

    \[\dot{v}=-g \,,\]

    čímž obdržíme obyčejnou diferenciální rovnice ve tvaru \( y'(x)=f(x) \). Uvědomíme si, že konstantní funkce \(f(x)=g\) je spojitá na \(\mathbb{R}\). Získanou diferenciální rovnici proto můžeme řešit přímou integrací.

    Poznámka: Tečka, dle Newtonovy notace, ve fyzice značí derivaci podle času. Toto značení Newton zavedl ve svých Principiích v rámci zjednodušení matematického zápisu. Fyziky totiž nejčastěji zajímají právě změny veličin s časem.

    Přímou integrací tak získáváme

    \[v=-\int{g} \,\mathrm{d}t = -gt + C \,,\]

    kde \(C\) je integrační konstanta, jejíž přesnou hodnotu určíme z počáteční podmínky \( v(0)=0\). Ve vztahu pro \( v \) proto položíme \( t = 0 \) , nebo-li

    \[0=-0+C \Rightarrow C=0 \,.\]

    Celkově tak získáme partikulární řešení ve tvaru

    \[v(t)= -gt\,.\]

    Zbývá určit funkci \( x(t) \), popisující polohu tělesa v čase \(t\). I v tomto případě si uvědomíme, že rychlost vyjadřuje změnu polohy za čas. Což v řeči derivací znamená \( v=\dot{x}\). Vztah pro \(v(t)\) tak přepíšeme následujícím způsobem

    \[\dot{x}= -gt\,.\]

    Opět před sebou máme obyčejnou diferenciální rovnici ve tvaru \(y'(x)=f(x) \). Lineární funkce \( f(x)=gt \) je spojitá na \( \mathbb{R} \). Získanou diferenciální rovnici proto můžeme opět řešit přímou integrací.

    \[x= \int {-gt}\,\mathrm{d} t = -\frac{1}{2}gt^2 + C \,,\]

    což je obecné řešení této diferenciální rovnice na \(\mathbb{R}\) kde \(C\) je integrační konstanta. Dále využijeme počáteční podmínky \( x(0)=h_0 \). Po dosazení

    \[h_0= 0 + C \Rightarrow C = h_0\]

    tak konečně získáme hledané partikulární řešení ve tvaru

    \[ x(t)=-\frac{1}{2}gt^2 + h_0 \,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze