Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Integrace lomené racionální funkce II.

Úloha číslo: 1487

Najděte primitivní funkci k

\[f(x)=\frac{3}{(x^2+2x+4)}\]
  • Motivace

    Výrazy typu \(\frac{1}{1+w^2}; \) integrujeme následovným způsobem

    \[\int\frac{1}{1+w^2}dw=\mathrm{arctg}\,{w} + c ;c \in \mathbb{R}\]

    Pokud tedy v zadané funkci vidíme náznak výrazu \(\frac{1}{1+w^2}\), za využití vhodné substituce či série vhodných substitucí, výraz převedeme do kýžené podoby, zintegrujeme a následně nalezneme vhodnou primitivní funkci zpětnou substitucí.

    Více o substituční metodě nalezneme v úloze Substituce.

  • Substituce

    Vhodnou substitucí převeďte zadaný výraz na výraz typu konstanta krát \(\frac{1}{1+w^2}\).

  • Integrace

    Za pomoci známých používaných primitivních funkcí (ta konkrétní je uvedena v motivaci úlohy) substituovaný výraz zintegrujte.

  • Řešení

    Řešený integrál vypadá následovně

    \[F(x)=\int\frac{3}{(x^2+2x+4)}dx\]

    Výraz \(\frac{3}{(x^2+2x+4)}\) už se sám o sobě chová jako výraz \(\frac{1}{1+w^2}\), neboť polynom v jeho jmenovateli je irreducibilní \( D < 0 \), pro snazší substituci nejprve rozšíříme polynom ve jmenovateli na čtverec plus konstanta.

    \[x^2+2x+4=(x^2+2x)+4=(x^2+2x+1-1)+4=\] \[=(x^2+2x+1)+3=(x+1)^2+3\]

    a tedy

    \[F(x)=\int\frac{3}{(x^2+2x+4)}dx=\int\frac{3}{((x+1)^2+3)}dx=\]

    Dále z výrazu ve jmenovateli vytkeneme 3 ve snaze výraz co nejvíce přiblížit \(w^2 + 1\)

    \[=\int\frac{3}{((x+1)^2+3)}dx=\int\frac{1}{3}\frac{3}{\frac{(x+1)^2}{3}+1}dx=\int\frac{1}{3}\frac{3}{\biggl(\frac{(x+1)}{\sqrt{3}}\biggr) ^2+1}dx\]

    konečně substituujeme \(w=\frac{(x+1)}{\sqrt{3}}\)

    jelikož je \(w\) funkce \(x\), bude pro derivaci \(w\) podle proměné \(x\) platit

    \[dw=\frac{dx}{\sqrt{3}}\]

    a tedy

    \[dx=\sqrt{3}dw\]

    celkově po dosazení obdržíme

    \[\int\frac{1}{\biggl(\frac{(x+1)}{\sqrt{3}}\biggr) ^2+1}dx=\sqrt{3}\int\frac{1}{1+w^2} dw\]

    Tento výraz již snadno zintegrujeme v souladu s motivačním duchem úlohy.

    \[\sqrt{3}\int\frac{1}{1+w^2} dw=\sqrt{3}\mathrm{arctg}\,{w}+c=\]

    a po zpětné substituci pak koneřný výsledek

    \[F(x)=\sqrt{3}\mathrm{arctg}\,{\frac{x+1}{\sqrt{3}}}+c\]
  • Výsledek

    \[F(x)=\sqrt{3}\mathrm{arctg}\,{\frac{x+1}{\sqrt{3}}}+c\]
  • Další úloha v sérii

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze