Vlastnosti Bilineární formy IV.
Úloha číslo: 1469
Bilineární forma na prostoru \(\mathbb{Z}_5^3\) má vzhledem k bázi \(M= \{(1{,}1,4),(1{,}4,1),(4{,}1,1) \}\) analytické vyjádření:
\[f(x,y) = 2x_1y_1 + 1x_1y_2 + 2x_1y_3+x_2y_1 3x_2y_2+1x_2y_3 +3x_3y_1+4x_3y_2+3x_3y_3\]určete její hodnost, defekt, levý a pravý vrchol.
Rozbor
Již víme, co si představit pod pojmy Analytické vyjádření k duální bázi a Analytické vyjádření bilineární formy I.. Nyní si ukážeme některé základní vlasntosti bilineární formy.
Hodnost Bilineární formy
Nechť \(f\) je bilineární forma na prostoru \(V\) dimenze \(n\) a \(A\) matice řádu \(n\) jejího analytického vyjádření vzhledem k bázi \(M\), pak hodností \(rf\) formy \(f\) rozumíme hodnost její matice \(A\).
Určení hodnosti formy \(f\) tedy přechází na určení hodnosti její matice \(A\).(Hodnost matice).
Defekt Bilineární formy
Nechť \(f\) je bilineární forma na prostoru \(V\) dimenze \(n\) a \(A\) matice řádu \(n\) jejího analytického vyjádření vzhledem k bázi \(M\), pak jestliže \(m\) je hodnost formy \(f\), defektem \(df\) rozumíme \(df=n-m\) nebo také hodnost nulového prostoru matice \(A\).
Pro určení defektu tedy postačí určit hodnost formy, defekt následně určíme jako \(d=n-m\).
Levý vrchol
Nechť \(f\) je bilineární forma na prostoru \(V\) dimenze \(n\) a \(A\) matice řádu \(n\) jejího analytického vyjádření vzhledem k bázi \(M\), pak levým vrcholem \(Lf\) formy \(f\) rozumíme:
\[Lf=\{ x \in V; \forall y \in V f(x,y) = 0 \}\]Hledání \(Lf\) přechází na řešení:
\[Lf= \{ x\in V; A^{\mathrm{T}} \cdot \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_M =0 \}\]Nezáleží na volbě \(y\).
Pravý vrchol
Nechť \(f\) je bilineární forma na prostoru \(V\) dimenze \(n\) a \(A\) matice řádu \(n\) jejího analytického vyjádření vzhledem k bázi \(M\), pak pravým vrcholem \(Rf\) formy \(f\) rozumíme:
\[Rf=\{ y \in V; \forall x \in V f(x,y) = 0 \}\]Hledání \(Pf\) přechází na řešení:
\[Lf= \{ y\in V; A \cdot \langle y \rangle^{\mathrm{T}}_M =0 \}\]Nezáleží na volbě \(x\).
Poznámka
Musí platit že \(df=\dim{Lf}=\dim{Rf}\)
Nápověda - Matice formy
Napište matici analytického vyjádření bilineární formy \(f\) vzhledem ke kanonické bázi.
Nápověda - hodnost formy
Hodnost formy \(rf\) dle teorie odpovídá hodnosti matice jejího analytického vyjádření \(B\) a její defekt pak hodnosti nulového prostoru matice \(B\)
Nápověda - Levý vrchol
Levý vrchol formy \(f\) určíme, v souladu s rozborem úlohy, jako řešení soustavy
\[Lf= \{ x\in V; B^{\mathrm{T}} \cdot \langle x \rangle^{\mathrm{T}} =0 \}\]Povšimněme si, že nezáleží na volbě \(y\), hledáme \(x\) nulující matici \(B^{\mathrm{T}}\).
Nápověda - Pravý vrchol
Pravý vrchol formy \(f\) určíme, v souladu s rozborem úlohy, jako řešení soustavy
\[Rf= \{ y\in V; B \cdot \langle y \rangle^{\mathrm{T}} =0 \}\]Povšimněme si, že nezáleží na volbě \(x\), hledáme \(y\) nulující matici \(B\).
Řešení
Bilineární forma na prostoru \(\mathbb{Z}_5^3\) má vzhledem k bázi \(M= \{(1{,}1,4),(1{,}4,1),(4{,}1,1) \}\) analytické vyjádření:
\[f(x,y) = 2x_1y_1 + 1x_1y_2 + 2x_1y_3+x_2y_1 3x_2y_2+1x_2y_3 +3x_3y_1+4x_3y_2+3x_3y_3\]indexy u \(x\), \(y\) v jednotlivých členech sumy udávají souřadnice dílčích koeficientů v řádích a sloupcích matice, proto matice formy \(A\)vzhledem k bázi \(M\) bude vypadat následovně:
\[A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\ 1 & 3 & 1\\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix}\]Máme:
\[f(x,y)= \langle x \rangle_M A \langle y \rangle_M^{\mathrm{T}}\tag{1}\]My ale potřebujeme analytické vyjádření vzhledem k bázi kanonické:
\[f(x,y)= \langle x \rangle_{k.b.} B \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{2}\]Využijeme proto matice přechodu \(P\) od kanonické báze k bázi \(M\), protože platí:
\[\langle x \rangle_{M}^{\mathrm{T}}= P \langle x \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}} \]následně dle pravidel pro transponování součinu výraz transponujeme:
\[\langle x \rangle_{M}= \langle x \rangle_{k.b.} P^{\mathrm{T}} \tag{3}\]analogicky pro pravou část získáváme:
\[\langle y \rangle_{M}^{\mathrm{T}}= P \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}} \tag{4}\]a po dosazení (4) a (3) do (1) získáváme:
\[f(x,y)= \langle x \rangle_{k.b} P^{\mathrm{T}}AP \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{5}\]při porovnání (5) a (2) vidíme, že hledaná matice:
\[B=P^{\mathrm{T}} A P\tag{6}\]Nejprve tedy vyjádřeme matici přechodu \(P\) od báze kanonické k bázi \(M\), řešením výrazu \((M|E) \sim (E|P)\), kde vektory bází zadáváme do sloupců matic a \(E\) rozumíme jednotkovou maticí.
\[\left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 1 & 4 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} II+4I\\ III+I\\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 1 & 4 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} II+III\\ I+2III\\ II\to III\\ \end{array} \sim \] \[\left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 4 \,&\, 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I+3III\\ \\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 3 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} 3II\\ 3III\\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 3 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \sim\] \[P = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0\\ 3 & 0 & 3\\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}\]a tedy:
\[P^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0\\ 3 & 0 & 3\\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}\]Nakonec po dosazení do (6) získáváme matici \(B\):
\[B=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 0\\ 3 & 0 & 3\\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\ 1 & 3 & 1\\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0\\ 3 & 0 & 3\\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} = \] \[ =\begin{pmatrix} 4 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0\\ 3 & 0 & 3\\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 4 & 3 & 4 \end{pmatrix} \] \[B=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 4 & 3 & 4 \end{pmatrix}\]Vzhledem ke skutečnosti, že hodnost formy odpovídá hodnosti její matice, uveďme nyní matici \(A\) formy \(f\) do řádkově odstupňovaného tvaru, kde bude hodnost \(A\) patrná na první pohled (bude odpovídat počtu nenulových řádků).
\[B=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 4 & 3 & 4 \end{pmatrix}\] \[\left( \begin{array}{lll} 3 & 4 & 3 \,&\, \\ 0 & 0 & 0 & \\ 4 & 3 & 4 & \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} III+2I\\ \\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll} 3 & 4 & 3 \,&\, \\ 0 & 0 & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \]Vidíme, že počet nenulových řádků je jedna a tedy hodnost \(f\) je 1.
Z teorie dále víme, že platí \(rf+df=n\), kde \(n=3\) udává dimenzi prostoru, na němž je forma \( f \) zadána. Pro defekt tedy platí:
\[df=3-rf=3-1=2\]Poznámka: Defekt můžeme také určit jako počet nulovách řádků matice \(B\).
Nalezení Levého vrcholu \(Lf\) formy \(f\) spočívá v nalezení řešení soustavy:
\[Lf= \{ x\in V; B^{\mathrm{T}} \cdot \langle x \rangle^{\mathrm{T}} =0 \}\]Matici \(B^{\mathrm{T}}\) nejprve uvedeme do řádkově odstupňovaného tvaru:
\[B=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 4 & 3 & 4 \end{pmatrix}\] \[B^{\mathrm{T}}= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4\\ 4 & 0 & 3\\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} II+2I\\ III+4I\\ \\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]poté odstupňovanou matici dosadíme do rovnosti a získáme
\[\begin{pmatrix} 3 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} =0 \]Triviální řešení nás nezajímá a tak postupně od spodního řádku volíme například:
\[z_1=1\] \[y_1=0\] \[x_1=2\] \[z_2=1\] \[y_2=1\] \[x_2=2\]z čehož plyne, že \(Lf\) je lineárním obalem vektorů \((2{,}0,1),\,\,(2{,}1,1)\).
Nalezení Pravého vrcholu \(Rf\) formy \(f\) spočívá v nalezení řešení soustavy:
\[Rf= \{ x\in V; B \cdot \langle y \rangle^{\mathrm{T}} =0 \}\]dosadíme do rovnosti řádkově odstupňovanou matici \(B\) a získáme
\[\begin{pmatrix} 3 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} =0 \]Triviální řešení nás nezajímá a tak postupně od spodního řádku volíme například:
\[z_1=2\] \[y_1=1\] \[x_1=0\] \[z_2=0\] \[y_2=1\] \[x_2=2\]z čehož plyne, že \(Rf\) je lineárním obalem vektorů \((2{,}1,0),(0{,}1,2)\).
Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!
Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).
Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.
