Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Vlastnosti Bilineární formy I.

Úloha číslo: 1466

Bilineární forma na prostoru \(\mathbb{R}^3\) má vzhledem ke kanonické bázi analytické vyjádření:

\[f(x,y) = 2x_1y_1 - 1x_1y_2+1x_1y_3+ x_2y_2-3x_2y_3 -3x_3y_1+2x_3y_2-3x_3y_3\]

určete její hodnost, defekt, levý a pravý vrchol.

  • Rozbor

    Již víme, co si představit pod pojmy Analytické vyjádření k duální báziAnalytické vyjádření bilineární formy I.. Nyní si ukážeme některé základní vlasntosti bilineární formy.

    Hodnost Bilineární formy

    Nechť \(f\) je bilineární forma na prostoru \(V\) dimenze \(n\) a  \(A\) matice řádu \(n\) jejího analytického vyjádření vzhledem k bázi \(M\), pak hodností \(rf\) formy \(f\) rozumíme hodnost její matice \(A\).

    Určení hodnosti formy \(f\) tedy přechází na určení hodnosti její matice \(A\).(Hodnost matice).

    Defekt Bilineární formy

    Nechť \(f\) je bilineární forma na prostoru \(V\) dimenze \(n\) a  \(A\) matice řádu \(n\) jejího analytického vyjádření vzhledem k bázi \(M\), pak jestliže \(m\) je hodnost formy \(f\), defektem \(df\) rozumíme \(df=n-m\) nebo také hodnost nulového prostoru matice \(A\).

    Pro určení defektu tedy postačí určit hodnost formy, defekt následně určíme jako \(d=n-m\).

    Levý vrchol

    Nechť \(f\) je bilineární forma na prostoru \(V\) dimenze \(n\) a  \(A\) matice řádu \(n\) jejího analytického vyjádření vzhledem k bázi \(M\), pak levým vrcholem \(Lf\) formy \(f\) rozumíme:

    \[Lf=\{ x \in V; \forall y \in V f(x,y) = 0 \}\]

    Hledání \(Lf\) přechází na řešení:

    \[Lf= \{ x\in V; A^{\mathrm{T}} \cdot \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_M =0 \}\]

    Nezáleží na volbě \(y\).

    Pravý vrchol

    Nechť \(f\) je bilineární forma na prostoru \(V\) dimenze \(n\) a  \(A\) matice řádu \(n\) jejího analytického vyjádření vzhledem k bázi \(M\), pak pravým vrcholem \(Rf\) formy \(f\) rozumíme:

    \[Rf=\{ y \in V; \forall x \in V f(x,y) = 0 \}\]

    Hledání \(Pf\) přechází na řešení:

    \[Lf= \{ y\in V; A \cdot \langle y \rangle^{\mathrm{T}}_M =0 \}\]

    Nezáleží na volbě \(x\).

    Poznámka

    Musí platit že \(df=\dim{Lf}=\dim{Rf}\)

  • Nápověda - Matice formy

    Napište matici analytického vyjádření bilineární formy \(f\) vzhledem ke kanonické bázi.

  • Nápověda - hodnost formy a defekt

    Hodnost formy \(rf\) dle teorie odpovídá hodnosti matice jejího analytického vyjádření \(A\) a její defekt pak hodnosti nulového prostoru matice \(A\)

  • Nápověda - Levý vrchol

    Levý vrchol formy \(f\) určíme, v souladu s rozborem úlohy, jako řešení soustavy

    \[Lf= \{ x\in V; A^{\mathrm{T}} \cdot \langle x \rangle^{\mathrm{T}} =0 \}\]

    Povšimněme si, že nezáleží na volbě \(y\), hledáme \(x\) nulující matici \(A^{\mathrm{T}}\).

  • Nápověda - Pravý vrchol

    Pravý vrchol formy \(f\) určíme, v souladu s rozborem úlohy, jako řešení soustavy

    \[Rf= \{ y\in V; A \cdot \langle y \rangle^{\mathrm{T}} =0 \}\]

    Povšimněme si, že nezáleží na volbě \(x\), hledáme \(y\) nulující matici \(A\).

  • Řešení

    Vzhledem ke skutečnosti, že hodnost formy odpovídá hodnosti její matice, uveďme nyní matici \(A\) formy \(f\) do řádkově odstupňovaného tvaru, kde bude hodnost \(A\) patrná na první pohled (bude odpovídat počtu nenulových řádků).

    \[\left( \begin{array}{lll} 2 & -1 & 1 \,&\, \\ 0 & 1 & -3 & \\ -3 & 2 & -3 & \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} 2III\\ III+3I\\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ III-II\\ \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \]

    Vidíme, že počet nenulových řádků je dva a tedy hodnost \(f\) je 2.

    Z teorie dále víme, že platí \(rf+df=n\), kde \(n=3\) udává dimenzi prostoru, na němž je forma \( f \) zadána. Pro defekt tedy platí:

    \[df=3-rf=3-2=1\]

    Poznámka: Defekt můžeme také určit jako počet nulovách řádků matice \(A\).

    Nalezení Levého vrcholu \(Lf\) formy \(f\) spočívá v  nalezení řešení soustavy:

    \[Lf= \{ x\in V; A^{\mathrm{T}} \cdot \langle x \rangle^{\mathrm{T}} =0 \}\]

    Matici \(A^{\mathrm{T}}\) nejprve uvedeme do řádkově odstupňovaného tvaru:

    \[A^{\mathrm{T}}= \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ -1 & 1 & 2\\ 1 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} 2III\\ 2II\\ \\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ -2 & 2 & 4\\ 2 & -6 & -6 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} II+I\\ III-I\\ \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & -6 & -3 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} III+3II\\ \\ \\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \]

    poté odstupňovanou matici dosadíme do rovnosti a získáme

    \[\begin{pmatrix} 2 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} =0 \]

    Triviální řešení nás nezajímá a tak postupně od spodního řádku volíme například:

    \[z=2\] \[y=-1\] \[x=3\]

    z čehož plyne, že \(Lf\) je lineárním obalem vektoru \((3,-1{,}2)\).

    Nalezení Pravého vrcholu \(Rf\) formy \(f\) spočívá v  nalezení řešení soustavy:

    \[Rf= \{ x\in V; A \cdot \langle y \rangle^{\mathrm{T}} =0 \}\]

    Řádkově odstupňovanou matici \(A\) dosadíme do rovnosti a získáme

    \[\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} =0 \]

    Triviální řešení nás nezajímá a tak postupně od spodního řádku volíme například:

    \[z=1\] \[y=3\] \[x=1\]

    z čehož plyne, že \(Rf\) je lineárním obalem vektoru \((1{,}3,1)\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze