Sbírka řešených úloh

Bilineární forma II.

Úloha číslo: 1460

• Rozbor

  Máme-li rozhodnout, zda zobrazení f je bilineární formou, musíme vyjít přímo z definice:

  Nechť \(V\) Vektorový prostor nad \(T\), bilineární formou \(f\) na prostoru \(V\) rozumíme každé zobrazení \(f:V \times V \to T\) splňující následující dvě podmínky:

  1. \(\forall x,y,z \in V: f(x+z,y) = f(x,y) + f(z,y)\)
  2. \(\forall x,y,z \in V: f(x,y+z) = f(x,y) + f(x,z)\)
  3. \(\forall x,y \in V;\,\, \forall a \in T: f(ax,y) = af(x,y)\)
  4. \(\forall x,y \in V;\,\, \forall a \in T: f(x,ay) = af(x,y)\)

  Obě tyto vlastnosti udávají linearitu zobrazení.

  Bilineární forma je tedy speciálním případem homomorfismu (více o pojmu Homomorfismus).

  Splňuje-li zobrazení výše uvedenou definici, pak se jedná o bilineární formu.

  Symetrická-antisymetrická bilineární forma

  Jestliže k výše uvedenému dále platí \(\forall x,y \in V: f(x,y) = f(y,x))\), pak f je symetrická bilineární forma.

  Jestliže k výše uvedenému dále platí \(\forall x,y \in V: f(x,y) = -f(y,x)\), pak f je antisymetrická bilineární forma.

  Kvadratická forma

  Kvadratickou formou q rozumíme každé zobrazení, pro které existuje bilineární forma f, splňující podmínku:\(\forall x \in V: f(x,x) = q(x)\)

• Nápověda 1. - Odkud Kam

  V souladu s definicí lineární formy, uvedenou v rozboru úlohy, je nejprve vhodné ověřit, zda-li je \(f:V\times V \to T\). V našem konkrétním případě tedy: \(f:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)

• Nápověda 1. - Odkud Kam - řešení

  Zobrazení \(f;\, \forall \vec{x},\vec{y} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x},\vec{y}) = \vec{x} +\vec{y} \) není bilineární formou, neboť každé dvojici vektorů \(\vec{x},\vec{y}\) prostoru \(\mathbb{R}^n\) přiřazuje prvek \(\vec{x}+\vec{y} \in \mathbb{R}^n\) nikoli prvek \(\mathbb{R}\) a tedy nemusíme nic dále ověřovat, neboť \(f\) nesplňuje vlastnost \(f:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) a tedy \(f\) není bilineární formou na prostoru \(\mathbb{R}^n\).

• Řešení

  Zobrazení \(f;\, \forall \vec{x},\vec{y} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x},\vec{y}) = \vec{x} +\vec{y} \) není bilineární formou, neboť každé dvojici vektorů \(\vec{x},\vec{y}\) prostoru \(\mathbb{R}^n\) přiřazuje prvek \(\vec{x}+\vec{y} \in \mathbb{R}^n\) nikoli prvek \(\mathbb{R}\) a tedy nemusíme nic dále ověřovat, neboť \(f\) nesplňuje vlastnost \(f:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) a tedy \(f\) není bilineární formou na prostoru \(\mathbb{R}^n\).