Duální báze II.
Úloha číslo: 1454
Je dána báze \(M^*=\{f_1,f_2,f_3 \}\) duální k bázi \(M\) na prostoru \(\mathbb{R}^3\).
Určete bázi \(M\), jestliže formy \(f_1, f_2,f_3\) jsou zadány vzhledem k bázi \(N=\{(1{,}0,-1),(0{,}1,1),(-1{,}1,0) \}\) následovně:
\[f_1(x)=x_1-\frac{1}{2}x_2\] \[f_2(x)=\frac{1}{2}x_2-\frac{1}{3}x_3\] \[f_3(x)=\frac{1}{3}x_3\]Rozbor
Před zahájením výpočtu je vhodné zopakovat si následující teorii:
Co je vlastně úkolem?
Úkolem je vyjádřit bázi \(M\), k níž je báze \(M^*\) duální vzhledem k bázi \(N\), vůči níž jsou zadány formy tvořící bázi \(M^*\).
Následující postup uplatňujeme v případě obecnějšího zadání vektorů báze \(M^*\) vzhledem k obecné bázi \(N\) prostoru, nad kterým počítáme.
Postup
Známe-li vyjádření forem báze \(M^*\) vzhledem k bázi \(N\) a máme-li určit z těchto údajů bázi \(M\) k níž je \(M^*\) duální, postupujme následovně:
Nejprve určeme vektory báze \(M\) vzhledem ke kanonické bázi prostoru.
Kde využijeme platnost \(M^* \cdot M = E\) a hledání duální báze tak převedeme v řešení maticového výrazu:
\[(\langle M^*\rangle_N|E) \sim \cdots \sim (\langle M\rangle_{k.b.}|E)\]kde zadáme-li vektory \( \langle M^*\rangle_N \) v řádcích, pak obdržíme vektory \( \langle M \rangle_{k.b.} \) v sloupcích maticového výrazu a naopak.
Pomocí matice přechodu \(P\) od báze \(N\) ke kanonické bázi vyjádřeme souřadnice získaných vektorů báze \(M\) vzhledem k bázi \(N\).
Řešením maticového výrazu \((E|N) \sim (E|P)\) určeme matici přechodu \(P\) od \(k.b.\) k \(N\).
Vektory bází píšeme do sloupců matic, \(E\) rozumíme jednotkovou maticí a \(P\) hledanou maticí přechodu.
Matici \(M\) pak získáme jako:
\[\langle M \rangle_N=P \langle M\rangle_{k.b.}\]kdy vektory hledané báze \(M\) budou obsaženy v sloupcích matice \(\langle M \rangle_N\).
Nápověda 1. - Využití duality bází
S využitím duality bází vyjádřete \( \langle M\rangle_{k.b} \).
Nápověda 2. - Matice přechodu
Vyjádřete matici přechodu od báze \(N\) ke kanonické bázi.
Nápověda 3. - konečné určení báze M
Ze znalosti matice přechodu \(P\) od báze \(N\) ke kanonické bázi prostoru \(\mathbb{R}^3\) a matice \( \langle M\rangle_{k.b.} \), obsahující v sloupcích souřadnice vektorů báze \(M\) vzhledem ke kanonické bázi, určete v souladu s teorií, obsaženou v rozboru bázi \(M\) vzhledem k bázi \(N\).
Řešení
S využitím duality bází sestavíme a řešíme výraz:
\[(\langle M^* \rangle_N|E) \sim \cdots \sim (\langle M \rangle_{k.b.}|E)\]kde zadáme-li vektory \( \langle M^*\rangle_N\) v řádcích, pak obdržíme vektory \(\langle M\rangle_{k.b.}\) v sloupcích maticového výrazu a naopak.
Maticový výraz tedy řešíme jako:
\[\left( \begin{array}{lll|rrr} \cdots & \langle f_1\rangle_N & \cdots & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ \cdots & \langle f_2\rangle_N & \cdots & & 0 & 1 & 0 \\ \cdots & \langle f_3\rangle_N & \cdots & & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \] \[=\left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \sim \cdots \] \[ \cdots \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & \,&\, \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & 0 & & \langle m_1\rangle_{k.b.} & \langle m_2\rangle_{k.b.} & \langle m_3\rangle_{k.b.} \\ 0 & 0 & 1 & & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{array} \right)\]Po dosazení:
\[\left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} II+III\\ \\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I+II\\ \\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & \,&\, 1 & 1 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} 3III\\ 2II\\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & \,&\, 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & & 0 & 0 & 3 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \] \[ \langle M\rangle_{k.b.} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \]Kde souřadnice vektorů báze \(M\) vzhledem ke kanonické bázi jsou v sloupcích získané matice \( \langle M\rangle_{k.b.}\).
Následným řešením maticového výrazu \((E|N) \sim (E|P)\) získáme matici přechodu \(P\) od \(N\) ke \(k.b.\).
Vektory bází píšeme do sloupců matic, E rozumíme jednotkovou maticí a P hledanou maticí přechodu.
Z výrazu je patrné na první pohled, že aby se obě strany rovnaly, musí platit, že matice \(P=N\) a tedy:
\[ P = N = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]Máme-li nýní vyjádřenou jak matici přechodu \(P\) od báze \(N\) ke kanonické bázi prostoru \(\mathbb{R}^3\) tak matici \( \langle M\rangle_{k.b.} \), obsahující v sloupcích souřadnice vektorů báze \(M\) vzhledem ke kanonické bázi, pak matici \( \langle M\rangle_{N}\) získáme:
\[ \langle M \rangle_{N}=P\langle M\rangle_{k.b.} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}=\] \[=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2\\ 0 & 2 & 5 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]kde vektory báze \(M\) jsou v sloupcích matice \(\langle M\rangle_{N}\) a tedy:
\(M=\{ (1{,}0,-1),(1{,}2,1),(-2{,}5,1) \}\)
