Sbírka řešených úloh

Lineární forma II.

Úloha číslo: 1442

• Rozbor

  Máme-li rozhodnout, zda zobrazení f je lineární formou, musíme vyjít přímo z definice:

  Nechť \( V\) Vektorový prostor nad \(T\), lineární formou \(f\) na prostoru \(V\) rozumíme každé zobrazení \(f:V \to T\) splňující následující dvě podmínky:

  1. \(\forall x,y \in V: f(x+y) = f(x) + f(y)\)
  2. \(\forall x \in V;\,\, \forall a \in T: f(ax) = af(x)\)

  Obě tyto vlastnosti lze shrnout jako: \(\forall x, y \in V; \forall a \in T: f(ax+by)=af(x) + bf(y)\) a udávají linearitu zobrazení.

  Lineární forma je tedy speciálním případem homomorfismu (více o pojem Homomorfismus).

  Splňuje-li zobrazení výše uvedenou definici, pak se jedná o lineární formu.

• Nápověda 1. - Odkud Kam

  Nejprve je nutné, v souladu s definicí, ověřit zda-li je \(g\) zobrazení z vektorového prostoru \(V\) do tělesa \(T\), nad kterým je prostor \(V\) definován.

  Postačí si tedy rozmyslet, odkud kam je skrze \(g\) zobrazováno.

• Nápověda 1. - Odkud Kam - řešení

  Jak je řečeno v zadání úlohy \(g\) je zobrazení, přiřazující každé čtvercové matici \(A\) řádu \(n\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) přiřadí k ní transponovanou matici \(A^{\mathrm{T}}\) nad týmž tělesem.

  V tom případě ale platí, že \(g:\mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}^{n \times n} \), nikoliv definicí lineární formy požadované \(g:\mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}\) a tedy můžeme říci, že zobrazení \(g\) není lineární forma na prostoru \(\mathbb{V}^{n \times n}\).

• Řešení

  Zobrazení \(g\) není lineární forma, neboť obecně neplatí \(g:\mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}\), ale \(g:\mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}^{n \times n}\)