Sbírka řešených úloh

Skalární součin II.

Úloha číslo: 1435

• Poznámka

  K řešení úlohy je třeba znát teorii související s bilineárními formami. Důležité poznatky potřebné k úlohám o skalárním součinu jsou shrnuty zde.

• a) Nápověda – ortogonální a ortonormální báze

  Nalezněte nějakou ortogonální a ortonormální bázi.

  Při úpravě na polární (popř. normální) tvar zaznamenávejte řádkové úpravy. Výsledná transformační matice má v řádcích vektory OG (popř. ON) báze.

• a) Řešení nápovědy – ortogonální a ortonormální báze

  \[ \color{grey}{\hspace{-0.1cm}f(x,y) = x_1y_1 + x_1y_4 + 2x_2y_2 + 3x_3y_3 + 2x_3y_4 + x_4y_1+ 2x_4y_3+ 3x_4y_4.} \]

  Maticí skalárního součinu \(f\) je matice

  \[ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}. \] K matici \(A\) „přilepíme“ jednotkovou matici, která bude zaznamenávat řádkové úpravy. \[(A\,|\,E) \sim (D\,|\,S^\mathrm{T}).\]

  Budeme provádět symetrické úpravy, až dostaneme polární tvar matice \(A\), v řádcích pravé matice pak budou vektory OG báze.

  \[ \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 1 \,&\, 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \,&\, 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \,&\, 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 3 \,&\, 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II} \\ \phantom{III} \\ IV-I \end{array} \sim \] \[ \quad \sim \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \,&\, 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \,&\, 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \,&\,-1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II} \\ \phantom{III} \\ -3IV + 2III \end{array} \sim \] \[ \sim \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \,&\, 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \,&\, 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \,&\, 3 & 0 & 2 &-3 \end{array}\right) \qquad\quad \]

  Prováděli jsme symetrické úpravy, tedy každá elementární úprava provedená na řádek je provedena i na sloupce.

  Vektory ortogonální báze jsou v řádcích matice vpravo

  \[ OG = \big\lbrace (1,{}0,{}0,{}0),(0,{}1,{}0,{}0),(0,{}0,{}1,{}0),(3,{}0,{}2,{}-3) \big\rbrace. \]

  Nyní budeme pokračovat se symetrickými úpravami, až dostaneme normální tvar matice \(A\), v řádcích pravé matice pak budou vektory ON báze.

  \[ \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \,&\, 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \,&\, 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \,&\, 3 & 0 & 2 &-3 \end{array}\right) \begin{array}{l} \phantom{1} \\ II/\sqrt{2} \\ III/\sqrt{3} \\ IV/\sqrt{6} \end{array} \sim \] \[ \sim \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \,&\, 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \,&\, 0 & 0 & \tfrac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \,&\, \tfrac{3}{\sqrt{6}} & 0 & \tfrac{2}{\sqrt{6}} &-\tfrac{3}{\sqrt{6}} \end{array}\right). \]

  Prováděli jsme symetrické úpravy, tedy každá elementární úprava provedená na řádek je provedena i na sloupce.

  Ortonormální báze je tedy

  \[ ON = \left\lbrace (1{},0,{}0,{}0), \left(0,\tfrac{\sqrt{2}}{2},{}0,{}0\right),\left(0,{}0,\tfrac{\sqrt{3}}{3},{}0\right), \left(\tfrac{\sqrt{6}}{2},{}0,\tfrac{\sqrt{6}}{3},-\tfrac{\sqrt{6}}{2}\right)\right\rbrace. \]

• b) Nápověda – kolmost vektorů

  Zjistěte, jsou-li vektory \(x,y\) na sebe kolmé.

  (i) Kolmé (ortogonální) vektory

  Nechť \(V\) je prostor se skalárním součinem \(f\).

  Vektory \(u,v\in V\) se nazývají kolmé (ortogonální), je-li \(f(x,y)=0.\)

• b) Řešení nápovědy – kolmost vektorů

  Proveďme skalární součin \(f\) zadaných vektorů \[\color{grey}{x=(x_1,x_2,x_3,x_4) = (1,{}0,{}3,-2),\quad y=(y_1,y_2,y_3,y_4)=(2,-1,{}1,{}2)}\] \[ \begin{eqnarray} f(x,y) &=& x_1y_1 &+& x_1y_4 &+& 2x_2y_2 &+& 3x_3y_3 &+& \\ &+& 2x_3y_4 &+& x_4y_1 &+& 2x_4y_3 &+& 3x_4y_4 &=&\\ &=& 1 \cdot{}2 &+& 1\cdot{}2 &+& 2\cdot{}0 (-1) &+& 3\cdot{}3 \cdot{}1 &+& \\ &+& 2\cdot{}3\cdot{}2 &+& (-2)2 &+& 2(-2)1 &+&3(-2)2 &=& 5 \neq 0. \end{eqnarray} \]

  Skalární součin vektorů \(x,y\) není nulový, vektory tedy nejsou kolmé (ortogonální).

• c) Nápověda – úhel vektorů u,v

  Určete úhel, který svírají vektory \(u,v\).

  Nejprve vypočítejte jejich skalární součin a normy. Vypočítané hodnoty dále dosaďte do vztahu pro úhel vektorů.

• c) Řešení nápovědy – úhel vektorů u,v

  \[\color{grey}{\hspace{-0.1cm}f(x,y) = x_1y_1 + x_1y_4 + 2x_2y_2 + 3x_3y_3 + 2x_3y_4 + x_4y_1+ 2x_4y_3+ 3x_4y_4}\]

  Nejprve určíme normy vektorů \(u,v\).

  Norma vektoru \(u = (2,{}1,{}0,{}1)\) je

  \[ \lVert u \rVert = \sqrt{f(u,u)} = \sqrt{4+2+2+0+0+2+0+3} = \sqrt{13}. \] Norma vektoru \(v=(0,{}3,{}1,-1)\) je \[ \lVert v \rVert = \sqrt{f(v,v)} = \sqrt{0+0+18+3-2+0-2+3} = \sqrt{20}. \] Budeme potřebovat skalární součin vektorů \(u,v\) \[ f(u,v) = 0-2+6+0+0+0+2-3 = 3. \] Úhel, který svírají vektory \(\varphi\) vektorů \(u,v\), vypočítáme ze vztahu \[ \cos \varphi = \frac{f(u,v)}{\lVert u \rVert \lVert v \rVert}. \] Vyjádříme hledané \(\varphi\), dosadíme \[ \varphi = \arccos \frac{f(u,v)}{\lVert u \rVert \lVert v \rVert} =\arccos \frac{3}{\sqrt{13}\sqrt{20}} \doteq 79^\mathrm{\circ}\,17^\prime. \]

• d) Nápověda – ortogonální doplňky

  Určete ortogonální doplňky podprostorů \(W_1,W_2\) v prostoru \(\mathbb{R}^4\).

  Ortogonální doplněk

  Nechť \(V\) je reálný vektorový prostor se skalárním součinem \(f\).

  Ortogonálním doplňkem podprostoru \(W\) prostoru \(V\) budeme rozumět množinu všech vektorů z \(V\), které jsou kolmé na všechny vektory z \(W\).

  Symbolicky

  \[W^\perp = \big\lbrace v\in V;\ f(v,w)=0,\ \forall w \in W \big\rbrace.\]

• d) Řešení nápovědy – ortogonální doplňky

  Nechť ortogonálním doplňkem podprostoru \(W_1\) je množina vektorů \[W_1^\perp = \lbrace (x_1,x_2,x_3,x_4) \rbrace.\] Vektory ortogonálního doplňku \(W_1^\perp\) musí být kolmé na všechny vektory podprostoru \(W_1\) (postačí na generátor) \[f\big((x_1,x_2,x_3,x_4),(1,{}0,{}3,-2)\big) = 0.\] \[ \color{grey}{\hspace{-0.1cm}f(x,y) = x_1y_1 + x_1y_4 + 2x_2y_2 + 3x_3y_3 + 2x_3y_4 + x_4y_1+ 2x_4y_3+ 3x_4y_4} \] Provedením skalárního součinu na levé straně dostáváme podmínku \[ x_1 - 2x_1 + 0 + 9x_3 - 4x_3 + x_4 + 6x_4 -6x_4 = 0, \] po úpravě \[ -x_1 + 5x_3 + x_4 = 0, \] Maticově \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = 0. \]

  Máme tedy homogenní soustavu obsahující jednu rovnici o čtyřech neznámých. Dimenze řešení je \(3\). Řešením je hledaný ortogonální doplněk

  \[ W_1^\perp = \big[ (0,{}1,{}0,{}0), (5,{}0,{}1,{}0), (1,{}0,{}0,{}1) \big]. \]

  ---

  Nechť ortogonálním doplňkem podprostoru \(W_2\) je množina vektorů \[W_2^\perp = \lbrace (x_1,x_2,x_3,x_4) \rbrace.\] Vektory ortogonálního doplňku \(W_2^\perp\) musí být kolmé na všechny vektory podprostoru \(W_2\) (postačí na generátory) \[ \begin{eqnarray} f\big((x_1,x_2,x_3,x_4),(2,{}1,{}0,{}1)\big) = 0, \\ f\big((x_1,x_2,x_3,x_4),(0,{}3,{}1,-1)\big) = 0. \end{eqnarray} \] \[ \color{grey}{\hspace{-0.1cm}f(x,y) = x_1y_1 + x_1y_4 + 2x_2y_2 + 3x_3y_3 + 2x_3y_4 + x_4y_1+ 2x_4y_3+ 3x_4y_4} \] Provedením skalárních součinů na levých stranách dostáváme podmínky \[ \begin{eqnarray} 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 5x_4 &=& 0, \\ -x_1 + 6x_2 + x_3 - x_4 &=& 0. \end{eqnarray} \] Maticově \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 & 5 \\ -1& 6 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = 0. \] Po Gaussově eliminaci \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 & 5 \\ 0& 20 & 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = 0. \]

  Máme tedy homogenní soustavu obsahující dvě rovnice o čtyřech neznámých. Dimenze řešení je \(2\). Řešením je hledaný ortogonální doplněk

  \[ W_2^\perp = \big[ (2,{}1,-4,{}0), (16,{}1,{}0,-10) \big]. \]

• Odpověď

  1. Ortogonální a ortonormální báze \[OG = \big\lbrace (1,{}0,{}0,{}0),(0,{}1,{}0,{}0),(0,{}0,{}1,{}0),(3,{}0,{}2,{}-3) \big\rbrace,\] \[ \hspace{-0.4cm}ON = \left\lbrace (1{},0,{}0,{}0), \left(0,\tfrac{\sqrt{2}}{2},{}0,{}0\right),\left(0,{}0,\tfrac{\sqrt{3}}{3},{}0\right), \left(\tfrac{\sqrt{6}}{2},{}0,\tfrac{\sqrt{6}}{3},-\tfrac{\sqrt{6}}{2}\right)\right\rbrace. \]
  2. Vektory \(x,y\) nejsou kolmé.
  3. Úhel vektorů \(u,v\) je \(\varphi = \arccos \tfrac{3}{\sqrt{13}\sqrt{20}}\doteq 79^\mathrm{\circ}\,17^\prime\).
  4. Ortogonální doplňky \[W_1^\perp = \big[ (0,{}1,{}0,{}0), (5,{}0,{}1,{}0), (1,{}0,{}0,{}1) \big],\] \[W_2^\perp = \big[ (2,{}1,-4,{}0), (16,{}1,{}0,-10) \big].\]