Sbírka řešených úloh

Maticový rozbor III.

Úloha číslo: 1426

• Poznámka

  K řešení úlohy je třeba ovládat

  • Základní pojmy,
  • Vlastní vektory,
  • Maticový polynom,
  • Anulující polynom matice,
  • Minimální polynom,
  • Diagonalizovatelnost matice,
    
    
  • partii homomorfismů a jejich maticové reprezentace.

• Nápověda 1 – diagonalizovatelnost

  Je matice diagonalizovatelná?

  Matice je diagonalizovatelná, jestliže je její minimální polynom rozložitelný v lineární faktory a má jednoduché kořeny.

• Řešení nápovědy 1 – diagonalizovatelnost

  Určíme charakteristický polynom matice \[ p(\lambda) = \det(\lambda E - A) = \begin{vmatrix} \lambda - 2 & -2 & -4 \\ 0 & \lambda - 5 & -6 \\ 0 & 1 & \lambda \end{vmatrix}= \] Determinant snadno vypočítáme rozvojem podle prvního sloupce. \[ = (\lambda-2) \begin{vmatrix} \lambda - 5 & -6 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix}= (\lambda -2)\big[\lambda(\lambda - 5) + 6\big] = \] \[ =(\lambda-2)(\lambda^2 - 5\lambda + 6) = (\lambda-2)^2(\lambda - 3). \] Minimální polynom \(m(\lambda)\) tedy bude jeden z polynomů \[ \begin{eqnarray} \mu_1(\lambda) &=& (\lambda-2)(\lambda - 3),\\ p(\lambda) = \mu_2(\lambda) &=& (\lambda-2)^2(\lambda - 3),\\ \end{eqnarray} \]

  který bude anulující a současně nejmenšího stupně.

  • Je polynom \(\mu_1\) anulujícím polynomem matice \(A\)? Ano, je, neboť \[ \mu_1(A) = (A - 2E)(A - 3E) = \] \[ = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O. \]

  Máme tedy minimální polynom matice \(A\) \[ m(\lambda) = (\lambda - 2)(\lambda - 3), \]

  který je rozložitelný na lineární faktory a má jednoduché kořeny.

  Matice \(A\) je tak dle věty o podobnosti diagonální matici diagonalizovatelná.

• Nápověda 2 – vlastní čísla, vlastní vektory

  Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory matice \(A\).

  Vlastní vektory potřebujeme, neboť, jak brzy uvidíme, budou tvořit vektory báze.

• Řešení nápovědy 2 – vlastní čísla, vlastní vektory

  Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu \[p(\lambda) = (\lambda-2)^2(\lambda-3).\]

  Máme tedy dvě vlastní čísla: \(\lambda_1 = 2\) a \(\lambda_2 = 3\).

  ---

  Hledejme vlastní vektory příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_1\). Tj. hledejme nenulová řešení homogenní soustavy \((\lambda_1E - A)v^\mathrm{T} = 0\).

  \[ \begin{pmatrix} 0 & -2 & -4 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \sim\ \dots \ \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \] \[ \hspace{2.7cm} \mathrm{Řešení:} \hspace{1cm} \left[\begin{array}{ccl} (\,1 & 0 & \phantom{-}0\,), \\ (\,0 & 2 & -1\,)\phantom{,} \\ \end{array}\right]. \] Dimenze řešení je \(2\). Máme tedy dvojici lineárně nezávislých vlastních vektorů příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_{1}\) \[ \begin{eqnarray} u &=& (1,{}0,{}0), \\ v &=& (0,{}2,-1). \\ \end{eqnarray} \]

  Dále hledejme vlastní vektory příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_2\). Tj. hledejme nenulová řešení homogenní soustavy \((\lambda_2E - A)v^\mathrm{T} = 0\).

  \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -4 \\ 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \sim\ \dots \ \sim \begin{pmatrix} 1 & -2 & -4 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \] \[ \hspace{2.7cm} \mathrm{Řešení:} \hspace{1cm} \big[\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1\\ \end{pmatrix}\big]. \] K vektorům \(u,v\) jsme dostali třetí vlastní vektor matice \(A\) \[ w = (2,{}3,-1). \]

  Můžete ověřit, že vektory \(u,v,w\) jsou lineárně nezávislé. Existuje ale věta, která říká, že vlastní vektory příslušící různým vlastním číslům lineárně nezávislé jsou.

• Nápověda 3 – diagonální tvar a báze

  Určete diagonální tvar matice \(A\) a příslušnou bázi.

  Uvažujte, že matice \(A\) je maticí endomorfismu \(f\) vzhledem ke kanonické bázi. Najděte takovou bázi \(B\), aby byla matice endomorfismu \(f\) vůči \(B\) diagonální.

• Řešení nápovědy 3 – diagonální tvar a báze

  Ukazuje se, že diagonální matice, která je matici \(A\) podobná, je matice složená z vlastních čísel \[ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}. \] Regulární matice \(S\), obstarávající podobnost \(A = S^{-1} D S\), má ve sloupcích po řadě vlastní vektory matice \(A\) \[ S= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}. \]

  Ve sloupcích matice jsou vektory hledané báze.

  Proč to tak funguje? Jak s maticí souvisí báze? A vůbec, báze čeho?

• Proč to funguje, aneb homomorfní náhled na podobnost

  Nechť matice \(A\) je maticí endomorfismu \(f\) prostoru \(\mathbb{R}^3\) vzhledem ke kanonické bázi. \[ \begin{array}{ccc} ~&f&~\\ \mathbb{R}^3 & \longleftarrow---- & \mathbb{R}^3\\ ^{\mathrm{k.b}} & A & ^{\mathrm{k.b}} \\ \end{array} \]

  Budeme se ptát – jakou matici má endomorfismus vůči jiné bázi?

  Endomorfismus rozšíříme identickým automorfismem do prostorů s bází \(B\).

  • Matici přechodu od báze \(B\) ke kanonické bázi označme \(S\).
  • Maticí přechodu od kanonické báze k bázi \(B\) je pak matice \(S^{-1}\).

  \[ \overset{f}{\longleftarrow------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} \mathbb{R}^3 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 & \overset{f}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 \\ ^{B} & S^{-1} & ^\mathrm{k.b} & A & ^\mathrm{k.b.} & S & ^{B}\\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{D=S^{-1}AS}\]

  Endomorfismus \(f\) má vzhledem k bázi \(B\) matici \(D=S^{-1}AS\). To je ale definiční vztah pro podobnost matic \(D,A\)!

  Stojíme tedy před úkolem najít takovou bázi \(B\) (resp. matici přechodu \(S\)), aby \(D\) byla diagonální.

  V předchozí části úlohy jsme našli vlastní vektory \(u,v\) pro vlastní číslo \(\lambda_1\) a vlastní vektor \(w\) pro vlastní číslo \(\lambda_2\).

  \[ \begin{array}{ccccc} A u^\mathrm{T} = \lambda_1 u^\mathrm{T} & \Leftrightarrow & f(u) = \lambda_1 u \\ A v^\mathrm{T} = \lambda_1 v^\mathrm{T} & \Leftrightarrow & f(v) = \lambda_1 v \\ A w^\mathrm{T} = \lambda_2 w^\mathrm{T} & \Leftrightarrow & f(w) = \lambda_2 w \\ \end{array} \]

  Vlastnosti vlastních vektorů jsou v levém sloupci, v pravém sloupci máme ekvivalentní tvrzení v řeči endomorfismu \(f\) s maticí \(A\).

  Když mají vlastní vektory takové „pěkné“ vlastnosti, co kdybychom je zkusili vzít jako bázi \(B\)? Jak pak bude vypadat matice \(D\)?

  \[B = \lbrace u,v,w \rbrace\]

  Matice \(D\) je maticí homomorfismu \(f\) vzhledem k bázi \(B\). Tu získáme dle definice tak, že vezmeme vektory báze \(B\), nalezneme jejich obrazy při endomorfismu \(f\) a souřadnice těchto obrazů vůči bázi \(B\) zapíšeme do sloupců matice \(D\). Proveďme

  \[ \begin{eqnarray} \langle f(u) \rangle_B &=& \langle \lambda_1 u \rangle_B = \langle \lambda_1u \color{grey}{+ 0v + 0w} \rangle_B = (\lambda_1{,}0,0),\\ \langle f(v) \rangle_B &=& \langle \lambda_1 v \rangle_B = \langle \color{grey}{0u+} \lambda_1v \color{grey}{+0w} \rangle_B = (0,\lambda_1{,}0),\\ \langle f(w) \rangle_B &=& \langle \lambda_2 w \rangle_B = \langle \color{grey}{0u + 0v +} \lambda_2w \rangle_B = (0{,}0,\lambda_2), \end{eqnarray} \] \[ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}. \]

  Vskutku, matice endomorfismu \(f\) vzhledem k \(B\) je skutečně diagonální!

  Uvedený postup by šlo snadno zobecnit pro všechny diagonalizovatelné matice. Proto můžeme vyřknout závěr:

  Diagonální tvar \(D\) diagonalizovatelné matice \(A\) získáme tak, že nalezneme bázi \(B\) tvořenou vlastními vektory matice \(A\). Vlastní čísla příslušící vektorům báze \(B\) pak po řadě poklademe na hlavní diagonálu matice \(D\).

• Zkouška

  Můžeme ověřit, že nalezená regulární matice \(S\) skutečně dává k matici \(A\) podobnou diagonální matici \(D=S^{-1}AS\).

  Nejprve určíme inverzní matici k matici \(S\), např. metodou užitou v tomto příkladě.

  \[ S= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \] \[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \,&\, 0 & 1 & 0 \\ 0 &-1 &-1 \,&\, 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim \ \ldots\ \sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 \,&\, 1 &-2 &-4 \\ 0 & 1 & 0 \,&\, 0 &-1 &-3 \\ 0 & 0 & 1 \,&\, 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \] \[ S^{-1}= \begin{pmatrix} 1 &-2 &-4 \\ 0 &-1 &-3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] A konečně provedeme maticový součin \[ D = S^{-1} A S = \begin{pmatrix} 1 &-2 &-4 \\ 0 &-1 &-3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 &-1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}= \] \[ = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -8 \\ 0 & -2 & -6 \\ 0 & 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}. \] Skutečně jsme dostali diagonální matici. Na hlavní diagonále jsou po řadě vlastní čísla příslušící vlastním vektorům, které jsou v uspořádané bázi \(B\).

• Odpověď

  Matice \(A\) je nad \(\mathbb{R}\) diagonalizovatelná. Její diagonálním tvarem je matice \[ D= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.\] Příslušná báze je \[B = \lbrace (1,{}0,{}0),(0,{}2,-1),(2,{}3,-1)\rbrace.\]