Sbírka řešených úloh

Základní pojmy II.

Úloha číslo: 1412

• Nápověda 1 – charakteristická matice

  Sestavte charakteristickou matici matice \(C\).

  Charakteristickou maticí matice \(C\) je matice \(\lambda E - C\),
  kde \(E\) je matice jednotková.

• Řešení nápovědy 1 – charakteristická matice

  Sestavíme charakteristickou matici \(\lambda E - C\) matice \(C\). \[ \lambda E - C = \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 0 & 7 & -1\\ -7 & -2 & 2 & 8\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 9 & 2 \\ \end{pmatrix}= \] \[ = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0& 0 \\ 0 & \lambda & 0& 0\\ 0 & 0 & \lambda& 0\\ 0 & 0 & 0& \lambda\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 0 & 7 & -1\\ -7 & -2 & 2 & 8\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 9 & 2 \\ \end{pmatrix}= \] \[ = \begin{pmatrix} \lambda - 4 & 0 & -7 & 1\\ 7 & \lambda +2 & -2 & -8\\ 0 & 0 & \lambda + 1 & 0 \\ -1 & 0 & -9 & \lambda - 2 \\ \end{pmatrix}. \]

• Nápověda 2 – charakteristický polynom

  Určete charakteristický polynom matice \(C\).

  Charakteristický polynom matice \(C\), značíme \(p(\lambda)\),
  je determinant její charakteristické matice \(\lambda E - C\).

  Připomeňte si metody výpočtu determinantů vyššího řádu, zejména užití rozvoje.

  Determinant matice třetího řádu lze určit Sarrusovým pravidlem.

• Řešení nápovědy 2 – charakteristický polynom

  Charakteristický polynom matice je determinant jeji charakteristické matice. Určíme jej \[ p(\lambda) = \det(\lambda E - C) = \begin{vmatrix} \lambda - 4 & 0 & -7 & 1\\ 7 & \lambda +2 & -2 & -8\\ 0 & 0 & \lambda + 1 & 0 \\ -1 & 0 & -9 & \lambda - 2 \\ \end{vmatrix} = \] Jeví se výhodné determinant určit rozvojem podle druhého sloupce. \[ =(-1)^4(\lambda+2) \begin{vmatrix} \lambda - 4 & -7 & 1 \\ 0 & \lambda + 1 & 0\\ -1 & -9 & \lambda -2 \end{vmatrix}= \] Vzniknuvší determinant třetího řádu vypočítáme Sarrusovým pravidlem. \[ =(\lambda + 2)\big[(\lambda - 4)(\lambda + 1)(\lambda - 2) + (\lambda + 1)\big]= \] \[ =(\lambda + 2)(\lambda + 1)\big[(\lambda - 4)(\lambda - 2) + 1\big]= \] Pro další práci je výhodné převést polynom na součin kořenových činitelů. \[ = (\lambda + 2)(\lambda + 1)\big[\lambda^2 -6\lambda + 9 \big]= (\lambda + 1)(\lambda + 2)(\lambda -3)^2. \]

  Nalezení kořenů polynomů vyšších stupňů pro převedení na součin bývá u úloh tohoto typu častým oříškem. Někdy si lze výpočet usnadnit, jako zde, vytýkáním.

  Charakteristickým polynomem matice \(C\) nad \(\mathbb{R}\) je tedy polynom \[ p(\lambda) =(\lambda + 1)(\lambda + 2)(\lambda -3)^2. \]

• Nápověda 3 – vlastní čísla

  Určete vlastní čísla matice \(C\).

  Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu \(p(\lambda)\).

• Řešení nápovědy 3 – vlastní čísla

  V předchozí části úlohy jsme určili charakteristický polynom matice \(C\) \[p(\lambda) =(\lambda + 1)(\lambda + 2)(\lambda -3)^2.\] Kořeny tohoto polynomu \(\lambda_1 = -1,\ \lambda_{2} = -2,\ \lambda_{3{,}4}= 3\) jsou vlastními čísly matice \(C\).

• Nápověda 4 – spektrum

  Určete spektrum matice \(C\).

  Spektrum matice \(C\) je soubor jejích vlastních čísel, přičemž je vlastní číslo v souboru zastoupeno tolikrát, kolik činí jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu.

• Řešení nápovědy 4 – spektrum

  Spektrum je soubor vlastních čísel, který zohledňuje jejich násobnost v charakteristickém polynomu.

  \[\color{grey}{p(\lambda) =(\lambda + 1)(\lambda + 2)(\lambda -3)^2}\]

  Násobnost vlastního čísla \(\lambda_1\) je \(1\), čísla \(\lambda_2\) rovněž \(1\) a násobnost čísla \(\lambda_{3{,}4}\) je \(2\).
  Spektrum matice \(C\) je tedy soubor \(\lbrace -1,-2,{}3,{}3\rbrace\).

• Výsledky

  Pro matici \(C\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) jsme našli

  • charakteristickou matici \(\begin{pmatrix} \lambda - 4 & 0 & -7 & 1\\ 7 & \lambda +2 & -2 & -8\\ 0 & 0 & \lambda + 1 & 0 \\ -1 & 0 & -9 & \lambda - 2 \\ \end{pmatrix}\),
  • charakteristický polynom \(p(\lambda) =(\lambda + 1)(\lambda + 2)(\lambda -3)^2\),
  • vlastní čísla \(\lambda_1 = -1,\ \lambda_{2} = -2,\ \lambda_{3{,}4}= 3\),
  • spektrum \(\lbrace -1,-2,{}3,{}3\rbrace\).