Sbírka řešených úloh

Matice homomorfismu V.

Úloha číslo: 1384

• Rozbor

  Nakresleme si význam uvedené věty. V obrázku jsou zakresleny vektorové prostory, jejich báze a homomorfismy. Jsou zde zaneseny i příslušné matice homomorfismu k příslušným bázím. \[ \begin{array}{ccccc} & f & & g &\\ W & \longleftarrow---- & V & \longleftarrow---- & U\\ ^{N} & \color{maroon}{A} & ^{M} & \color{maroon}{B} & ^{K} \\ \end{array} \] A dle věty můžeme složenému homomorfismu \(f\circ g\) přiřadit matici, která je součinem matic dílčích homomorfismů, tj. matici \(AB\). Zakreslíme do obrázku. \[ \overset{f\circ g}{\longleftarrow---------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} & f & & g &\\ W & \longleftarrow---- & V & \longleftarrow---- & U\\ ^{N} & \color{maroon}{A} & ^{M} & \color{maroon}{B} & ^{K} \\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{\color{maroon}{AB}}\]

  ---

  Díky této větě můžeme úlohu vyřešit následovně.

  • Najdeme matici \(A\) homomorfismu \(f\).
  • Najdeme matici \(B\) homomorfismu \(g\).
  • Matici složeného homomorfismu \(f\circ g\) určíme jako maticový součin \(AB\).

• Nápověda 1 – výpočet matice A homomorfismu f

  Postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů kanonické báze. Jaké jsou souřadnice těchto vektorů vzhledem ke kanonické bázi? Souřadnice zapište správně do matice.

• Řešení nápovědy 1 – výpočet matice A homomorfismu f

  Nalezněme obrazy vektorů kanonické báze. \[ \color{grey}{ \mathrm{Předpis:\ }f(x,y,z) =(x+3y+4z,5x+2z,2x+y+6z,4y+z)} \] \[ \begin{eqnarray} f(1{,}0,0)&=&(1{,}5,2{,}0)\\ f(0{,}1,0)&=&(3{,}0,1{,}4)\\ f(0{,}0,1)&=&(4{,}2,6{,}1)\\ \end{eqnarray} \] Hledané souřadnice těchto obrazů vzhledem ke kanonické bázi jsou přímo složky vektorů. \[ \begin{eqnarray} \big\langle(1{,}5,2{,}0)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(1{,}5,2{,}0)\\ \big\langle(3{,}0,1{,}4)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(3{,}0,1{,}4)\\ \big\langle(4{,}2,6{,}1)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(4{,}2,6{,}1)\\ \end{eqnarray} \] Nalezené souřadnice poklademe dle definice do sloupců matice.
  Matice homomorfismu \(f\) vzhledem ke kanonické bázi je \[ A= \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 5&0&2\\ 2&1&6\\ 0&4&1\\ \end{pmatrix}. \]

• Nápověda 2 – výpočet matice B homomorfismu g

  Postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů kanonické báze. Jaké jsou souřadnice těchto vektorů vzhledem ke kanonické bázi? Souřadnice zapište správně do matice.

• Řešení nápovědy 2 – výpočet matice B homomorfismu g

  Nalezněme obrazy vektorů kanonické báze. \[ \color{grey}{ \mathrm{Předpis:\ }g(x,y,z,w)=(2x+3z+5w,x+2y+z+2w,3y+4z+w)} \] \[ \begin{eqnarray} g(1{,}0,0{,}0)&=&(2{,}1,0)\\ g(0{,}1,0{,}0)&=&(0{,}2,3)\\ g(0{,}0,1{,}0)&=&(3{,}1,4)\\ g(0{,}0,0{,}1)&=&(5{,}2,1)\\ \end{eqnarray} \] Hledané souřadnice těchto obrazů vzhledem ke kanonické bázi jsou přímo složky vektorů. \[ \begin{eqnarray} \big\langle(2{,}1,0)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(2{,}1,0)\\ \big\langle(0{,}2,3)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(0{,}2,3)\\ \big\langle(3{,}1,4)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(3{,}1,4)\\ \big\langle(5{,}2,1)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(5{,}2,1)\\ \end{eqnarray} \] Nalezené souřadnice poklademe dle definice do sloupců matice.
  Matice homomorfismu \(g\) vzhledem ke kanonické bázi je \[ B= \begin{pmatrix} 2&0&3&5\\ 1&2&1&2\\ 0&3&4&1\\ \end{pmatrix}. \]

• Nápověda 3 – výpočet matice AB homomorfismu f•g

  Dle uvedené věty o matici složeného homomorfismu je maticí homomorfismu \(f\circ g\) součin matic \(AB\). Proveďte jej. Pozor – násobíme nad polem \(\mathbb{Z}_7\).

• Řešení nápovědy 3 – výpočet matice AB homomorfismu f•g

  Maticí složeného homomorfismu \(f\circ g\) je součin matic \(A\) a \(B\) v tomto pořadí. \[ A\cdot B = \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 5&0&2\\ 2&1&6\\ 0&4&1\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2&0&3&5\\ 1&2&1&2\\ 0&3&4&1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5&4&1&1 \\ 3&6&2&6 \\ 5&6&3&4 \\ 4&4&1&2 \\ \end{pmatrix}. \]

• Odpověď

  Maticí složeného homomorfismu \(f\circ g\) vzhledem ke kanonické bázi je matice \[ A\cdot B = \begin{pmatrix} 5&4&1&1 \\ 3&6&2&6 \\ 5&6&3&4 \\ 4&4&1&2 \\ \end{pmatrix}. \]