Sbírka řešených úloh

Matice homomorfismu III.

Úloha číslo: 1379

• Rozbor

  Nejprve je třeba nalézt předpis pro složený homomorfismus, podobně jak jsme tomu činili v úloze Homomorfismus II..

  Nalezneme-li předpis, budeme postupovat stejně jako v úlohách

  • Matice homomorfismu,
  • Matice homomorfismu I.,
  • Matice homomorfismu II..

• Nápověda 1 – předpis složeného homomorfismu

  Nalezněte předpis pro složený homomorfismus.

• Řešení nápovědy 1 – předpis složeného homomorfismu

  Homomorfismy lze skládat pouze tak, aby „prostorově“ navazovaly. Tedy takto \[ \mathbb{R}^3 \overset{f}{\longrightarrow} \mathbb{R}^4 \overset{g}{\longrightarrow} \mathbb{R}^2. \] Tj. nejprve na třísložkový vektor provedeme \(f\) a získáme čtyřsložkový vektor. Na něj pak provedeme \(g\) a dostaneme vektor dvojsložkový.

  Nalezněme předpis složeného homomorfismu

  \[ g \circ f = g\big(f(x,y,z)\big) \overset{\mathrm{předp.}\,f}{=} g(y,−x+z,y−z,x) \overset{\mathrm{předp.}\,g}{=} \] \[ \overset{\mathrm{předp.}\,g}{=} \big(y + 2x, x-z+y-z \big) = \big( 2x + y, x+y-2z \big). \]

  Nalezli jsme předpis složeného homomorfismu \(g\circ f\) ve tvaru

  \[ (g\circ f)\big(x,y,z\big) = \big( 2x + y, x+y-2z \big). \]

• Nápověda 2 – matice složeného homomorfismu

  Postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů báze \(M\). Určete souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(N\). Souřadnice zapište správně do matice.

  Pozor, báze jsou uspořádané – nelze tedy vektory libovolně zaměňovat.

• Řešení nápovědy 2 – matice složeného homomorfismu

  Nalezněme obrazy vektorů báze \(M\). \[ \color{grey}{\mathrm{Předpis:\ } (g\circ f)(x,y,z)=(2x+y,x+y−2z)} \] \[ \begin{eqnarray} f(1{,}1,1)&=&(3{,}0)\\ f(1{,}1,0)&=&(3{,}2)\\ f(1{,}0,0)&=&(2{,}1)\\ \end{eqnarray} \] Hledané souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(N\) označíme následovně. \[ \begin{eqnarray} \big\langle(3{,}0)\big\rangle_\mathrm{N}=(a_1,b_1)\\ \big\langle(3{,}2)\big\rangle_\mathrm{N}=(a_2,b_2)\\ \big\langle(2{,}1)\big\rangle_\mathrm{N}=(a_3,b_3)\\ \end{eqnarray} \] Souřadnice obrazů vzhledem k bázi \(N\) jsou koeficienty lineární kombinace vektorů báze \(N\) dávající příslušné obrazy. \[ \begin{eqnarray} (3{,}0) = a_1 (2{,}1) + b_1 (1{,}1) \\ (3{,}2) = a_2 (2{,}1) + b_2 (1{,}1) \\ (2{,}1) = a_3 (2{,}1) + b_3 (1{,}1) \\ \end{eqnarray} \]

  Souřadnice \(a_i, b_i\) nalezneme „hromadnou“ metodou.

  \[ \begin{equation} \left.\begin{aligned} &(3{,}0) \\ &(3{,}2) \\ &(2{,}1) \\ \end{aligned}\right\} = a_i (2{,}1) + b_i (1{,}1) \end{equation} \] Ve složkách vektorů dostáváme následující rovnice. \[ \begin{array}{rrrrr} 2a_i & + & b_i & = &3 \,|\, 3 \,|\, 2 & \qquad \mathrm{(1)} \\ a_i & + & b_i & = &0 \,|\, 2 \,|\, 1 & \qquad \mathrm{(2)} \\ \end{array} \]

  Rovnici s \(i\)-tými indexy náleží jako pravá strana \(i\)-tý „chlíveček“.

  Tuto soustavu snadno vyřešíme. Od dvojnásobku rovnice (2) odečteme rovnici (1) a získáme \[ b_i = -3\,|\,1\,|\,0. \] Z rovnice (2) vyjádříme \(a_i\) a dosadíme vypočítané \(b_i\) \[ a_i = 0\,|\,2\,|\,1 - b_i = 3\,|\,1\,|\,1. \] Nalezené souřadnice poklademe na příslušné pozice matice dle definice.
  Matice homomorfismu \(g\circ f\) vzhledem k bázím \(M,N\) je \[ A= \begin{pmatrix} \phantom{-}3 & 1 & 1\\ -3 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}. \]

• Odpověď

  Matice složeného homomorfismu \(g\circ f\) vzhledem k bázím \(M,N\) je \[ A= \begin{pmatrix} \phantom{-}3 & 1 & 1\\ -3 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}. \]