Sbírka řešených úloh

Homomorfismus II.

Úloha číslo: 1373

• Rozbor

  Stejně jak skládáme zobrazení, můžeme skládat i homomorfismy – vždyť to nejsou nic než trošku speciální zobrazení!

  Ne každá dvojice zobrazení však lze složit. Obraz prvního provedeného zobrazení musí mít nenulový průnik s definiční množinou druhého provedeného zobrazení. V případě homomorfismů to znamená, že první homomorfismus musí vektory zobrazovat do prostoru, který je prostorem vzorů pro druhý homomorfismus.

  Jádro, obraz a typ homomorfismu se určí naprosto analogicky jako v příkladech

  • Homomorfismus,
  • Homomorfismus I..

• Nápověda 1 – předpis složeného homomorfismu

  V jakém pořadí je možné homomorfismy složit?

  Nalezněte předpis pro složený homomorfismus.

• Řešení nápovědy 1 – předpis složeného homomorfismu

  Homomorfismy lze složit pouze tak, aby „prostorově“ navazovaly. Tedy takto \[ \mathbb{R}^3 \overset{f_1}{\longrightarrow} \mathbb{R}^3 \overset{f_2}{\longrightarrow} \mathbb{R}^4. \] Tj. nejprve na třísložkový vektor provedeme \(f_1\) a získáme třísložkový vektor. Na něj pak provedeme \(f_2\) a dostaneme vektor čtyřsložkový.

  Nalezněme předpis složeného homomorfismu

  \[ f = f_2 \circ f_1 = f_2\big(f_1(x,y,z)\big) \overset{\mathrm{předp.}\,f_1}{=} f_2(x+y,y+z,x+z) \overset{\mathrm{předp.}\,f_2}{=} \] \[ \overset{\mathrm{předp.}\,f_2}{=} \bigg(3(x+y)+y+z,-2(y+z)+x+z,-(x+y)+y+z,2(x+z)\bigg). \]

  A po úpravě máme předpis složeného homomorfismu \(f\) ve tvaru

  \[ f(x,y,z) = \big(3x + 4y + z , x -2y -z, -x+z , 2x+2z\big). \]

• Nápověda 2 – jádro homomorfismu

  Jádro homomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Ker\,}f=\big\{u\in \mathbb{R}^3;~f(u) = o \big\}. \] Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^3\), které se zobrazí na nulový vektor.

  Položte předpis homomorfismu roven nulovému vektoru a vypočítejte jádro.

• Řešení nápovědy 2 – jádro homomorfismu

  Pro nalezení jádra homomorfismu \(f\) položíme jeho předpis roven nulovému vektoru.

  \[ f(x,y,z) = \big(3x + 4y + z , x -2y -z, -x+z , 2x+2z\big) = (0{,}0,0{,}0). \] Tato vektorová rovnice nám dává soustavu čtyř rovnic o třech neznámých. \[ \begin{array}{rrrrrrr} 3x & + & 4y & + & z & = & 0 \\ x & - & 2y & - & z & = & 0 \\ -x & & & + & z & = & 0 \\ 2x & & & + & 2z & = & 0 \\ \end{array} \] Která má pouze triviální nulové řešení \(x=y=z=0\).

  Jádro obsahuje pouze nulový vektor. Homomorfismus \(f\) má nulové jádro.

  \[\mathrm{Ker\,}f = 0.\]

• Nápověda 3 – obraz homomorfismu

  Obraz homomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Im\,}f=\big\{v\in \mathbb{R}^4,~\exists u\in \mathbb{R}^3:~f(u) = v \big\}. \]

  Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^4\), na které se „něco“ zobrazí.

  • K určení obrazu homomorfismu užijte větu o obrazu množiny generátorů.
  • Jako množinu generátorů volte pro jednoduchost kanonickou bázi.
  • Obraz homomorfismu udejte jako lineární obal jeho báze.

• Řešení nápovědy 3 – obraz homomorfismu

  Užijeme větu o obrazu množiny generátorů, která říká, že obrazem množiny generátorů prostoru ze kterého zobrazujeme je množina generátorů prostoru do kterého zobrazujeme.

  Jako množinu generátoru prostoru \(\mathbb{R}^3\) zvolíme pro jednoduchost kanonickou bázi \[\big\{ (1{,}0,0),(0{,}1,0),(0{,}0,1)\big\}.\]

  Vektorům báze určíme obrazy jejich dosazením do předpisu homomorfismu \(f\).

  \[\color{grey}{\mathrm{Předpis}\quad f(x,y,z) = \big(3x + 4y + z , x -2y -z, -x+z , 2x+2z\big).}\] \[ \begin{eqnarray} f(1{,}0,0) &=& (3{,}1,-1{,}2) \\ f(0{,}1,0) &=& (4,-2{,}0,0) \\ f(0{,}0,1) &=& (1,-1{,}1,2) \\ \end{eqnarray} \] Nyní by již bylo možné napsat odpověď \[ \mathrm{Im\,}f = \big[(3{,}1,-1{,}2),(4,-2{,}0,0),(1,-1{,}1,2) \big], \]

  to ale dělat nebudeme. Množina vektorů by totiž mohla být lineárně závislá a měli bychom v závorkách nějaký vektor zbytečně navíc.

  Ověřme, zda-li se jedná o lineárně nezávislou množinu generátorů – tedy bázi.

  \[ \left( \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 1 & 2\\ 3 & 1 & -1 & 2\\ 4 & -2 & 0 & 0\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II - 3I\\ III - 4I\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 1 & 2\\ 0 & 4 & -4 & -4\\ 0 & 2 & -4 & -8\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ 2III - II\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 1 & 2\\ 0 & 4 & -4 & -4\\ 0 & 0 & -4 & -12\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II/4 \\ \hspace{-0.4em}-III/4\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ \end{array} \right) \]

  Ano, množina je lineárně nezávislá a tvoří bázi obrazu homomorfismu.

  \[\mathrm{Im\,}f = \big[(1,-1{,}1,2),(0{,}1,-1,-1),(0{,}0,1{,}3) \big].\] Hodnost, tj. dimenze obrazu, která je dána počtem prvku jeho báze je \[r(f) = \mathrm{dim\,Im\,}f = 3.\] Znalost dimenze obrazu a dimenze prostoru, do kterého \(f\) zobrazuje se bude hodit při určováni typu homomorfismu.

• Nápověda 4 – typ homomorfismu

  Jaké je jádro homomorfismu? Může být homomorfismus monomorfismem?

  Do jakého prostoru homomorfismus zobrazuje? Může být homomorfismus endomorfismem? Automorfismem?

  Jaká je dimenze obrazu? Jaká je dimenze prostoru, do kterého homomorfismus zobrazuje? Je homomorfismus epimorfismem? Izomorfismem?

• Řešení nápovědy 4 – typ homomorfismu

  Jaké je jádro homomorfismu? Může být homomorfismus monomorfismem?

  Jádro homomorfismu \(f\) je nulové.
  Dle věty o jádru a monomorfismu je homomorfismus monomorfismem.

  Do jakého prostoru homomorfismus zobrazuje? Může být homomorfismus endomorfismem? Automorfismem?

  Homomorfismus je mezi různými prostory a proto není endomorfismem a tudíž ani automorfismem.

  Jaká je dimenze obrazu? Jaká je dimenze prostoru, do kterého homomorfismus zobrazuje? Je homomorfismus epimorfismem? Izomorfismem?

  Dimenze obrazu je \(3\) zatímco prostor do kterého \(f\) zobrazuje je dimenze \(4\). Homomorfismus \(f\) tedy není epimorfismus a tedy ani izomorfismus.

• Odpověď

  Homomorfismus \(f\), který je složením homomorfismů \(f_1, f_2\) má nulové jádro \[\mathrm{Ker\,}f = 0.\] Obraz homomorfismu \(f\) je \[\mathrm{Im\,}f = \big[(1,-1{,}1,2),(0{,}1,-1,-1),(0{,}0,1{,}3) \big].\] Homomorfismus \(f\) je monomorfismus.