Sbírka řešených úloh

Homomorfismus I.

Úloha číslo: 1372

• Rozbor

  Určování jádra a obrazu homomorfismu bylo důkladně vysvětleno v úloze Homomorfismus.

  Defekt a hodnost homorfismu určíme z poznatků uvedených v této úloze. Jsou dány jako dimenze prostorů jádra a obrazu homomorfismu.

  Obraz libovolného vektoru \(u\) získáme tak, že na něj provedeme předpis homomorfismu.

  Úplný vzor získáme podobně jako jádro, předpis ale položíme roven vektoru, jehož úplný vzor hledáme. Můžeme užít uvedené věty, která říká, že úplný vzor je libovolný vzor + jádro homomorfismu.

  Typ homomorfismu určíme na základě zjištěných skutečností ohledně jádra, hodnosti, defektu atp. Přehled speciálních typů homomorfismu naleznete v úloze Homomorfismus.

• 1. Nápověda – jádro a defekt

  Jádro homomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Ker\,}f=\big\{u\in \mathbb{R}^4;~f(u) = o \big\}. \] Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^4\), které se zobrazí na nulový vektor.

  Položte předpis homomorfismu roven nulovému vektoru a vypočítejte jádro. Jaký je defekt homomorfismu?

• 1. Řešení nápovědy – jádro a defekt

  Pro nalezení jádra homomorfismu \(f\) položíme jeho předpis roven nulovému vektoru.

  \[ f(x,y,z,w) = (x+y-z,2z+3w,3y-2z) = (0{,}0,0). \] Tato vektorová rovnice nám dává soustavu tří rovnic o čtyřech neznámých. \[ \begin{array}{rrrrrrrrrr} x & + & y & - & z & & & = & 0 & \qquad \mathrm{(1)}\\ & & & & 2z & + & 3w & = & 0 & \qquad \mathrm{(2)}\\ & & 3y & -& 2z & & & = & 0 & \qquad \mathrm{(3)} \\ \end{array} \] Zvolíme parametr \(w\in\mathbb{R}\). Sečtením rovnic (2) a (3) máme \[ 3y + 3w= 0 \qquad \Rightarrow \qquad y = -w. \] Z rovnice (2) získáme \[ z = \frac{1}{2}(-3w) = -\frac{3}{2} w. \] Poslední neznámou \(x\) dopočítáme z rovnice (1) užitím všech získaných vyjádření. \[ x = z-y = -\frac{3}{2} w + w = -\frac{1}{2}w. \]

  Jádrem je tedy:

  \[ \begin{eqnarray} \mathrm{Ker\,} f = \bigg\{ \left(-\frac{1}{2}w,-w,-\frac{3}{2}w,w\right);~w\in\mathbb{R} \bigg\} &=&\\ = \bigg\{ -\frac{1}{2}w\cdot \left(1{,}2,3,-2\right);~w\in\mathbb{R} \bigg\} &=&\\ = \bigg\{ w^\prime\cdot \left(1{,}2,3,-2\right);~w^\prime\in\mathbb{R} \bigg\} &=&\\ = \left[\left(1{,}2,3,-2\right) \right].\\ \end{eqnarray} \] A defekt homomorfismu daný počtem vektorů báze jádra: \[d(f) = \mathrm{dim\,Ker\,}f = 1.\]

• 2. Nápověda – obraz a hodnost

  Obraz homomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Im\,}f=\big\{v\in \mathbb{R}^3,~\exists u\in \mathbb{R}^4:~f(u) = v \big\}. \]

  Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^3\), na které se „něco“ zobrazí.

  • K určení obrazu homomorfismu užijte větu o obrazu množiny generátorů.
  • Jako množinu generátorů volte pro jednoduchost kanonickou bázi.
  • Obraz homomorfismu udejte jako lineární obal jeho báze.
  • Jak se určí hodnost homomorfismu?

• 2. Řešení nápovědy – obraz a hodnost

  Užijeme větu o obrazu množiny generátorů, která říká, že obrazem množiny generátorů prostoru ze kterého zobrazujeme je množina generátorů prostoru do kterého zobrazujeme.

  Jako množinu generátorů prostoru \(\mathbb{R}^4\) zvolíme pro jednoduchost kanonickou bázi \[\big\{ (1{,}0,0{,}0),(0{,}1,0{,}0),(0{,}0,1{,}0),(0{,}0,0{,}1)\big\}.\]

  Vektorům báze určíme obrazy jejich dosazením do předpisu homomorfismu \(f\).

  \[\color{grey}{\mathrm{Předpis}\quad f(x,y,z,w) = (x+y-z,2z+3w,3y-2z).}\] \[ \begin{eqnarray} f(1{,}0,0{,}0) &=& (1{,}0,0) \\ f(0{,}1,0{,}0) &=& (1{,}0,3) \\ f(0{,}0,1{,}0) &=& (-1{,}2,-2) \\ f(0{,}0,0{,}1) &=& (0{,}3,0) \\ \end{eqnarray} \] Nyní by již bylo možné napsat odpověď \[ \mathrm{Im\,}f = \left[(1{,}0,0),(1{,}0,3),(-1{,}2,-2),(0{,}3,0) \right], \]

  to ale dělat nebudeme. Množina vektorů by totiž mohla být lineárně závislá a měli bychom v závorkách nějaký vektor zbytečně navíc.

  Nalezněme proto lineárně nezávislou množinu generátorů – tedy bázi, obrazu homomorfismu.

  \[ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II - I\\ III + I\\ \phantom{IV}\\ \end{array} \sim \begin{array}{l} \phantom{n}\\ \downarrow\\ \phantom{n}\\ \phantom{n}\\ \end{array} \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{n}\\ \phantom{n}\\ \uparrow\\ \phantom{n}\\ \end{array} \sim \begin{array}{l} \phantom{n}\\ \phantom{n}\\ \downarrow\\ \phantom{n}\\ \end{array} \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{n}\\ \phantom{n}\\ \phantom{n}\\ \uparrow\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ 2III - 3II\\ \phantom{IV}\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ 2IV-III\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \] Bází obrazu množiny generátorů je tedy například množina \[\big\{(2{,}1,0),(0{,}1,1),(0{,}0,1)\big\}.\] Dimenze obrazu homomorfismu je stejná jako dimenze prostoru do kterého zobrazujeme.
  Obraz homomorfismu je tedy \[\mathrm{Im\,}f = \mathbb{R}^3.\] Hodnost homomorfismu určíme jako dimenzi obrazu, tj. \[ r(f) = \mathrm{dim\,Im\,}f = 3. \]

• 3. Nápověda – obraz vektoru

  Obraz vektoru se získá tak, že se na něj provede předpis homomorfismu.

• 3. Řešení nápovědy – obraz vektoru

  Pro nalezení obrazu vektoru \((2,−1{,}0,1)\) jej dosadíme do předpisu homomorfismu \[ f(x,y,z,w) = (x+y-z,2z+3w,3y-2z). \] Tedy \[ f(2,-1{,}0,1) = (1{,}3,-3). \]

• 4. Nápověda – úplný vzor vektoru

  Úplný vzor nalezneme podobně jako jádro homomorfismu. Nyní ale nebudeme hledat vektory, které se zobrazí na nulový vektor, ale vektory, které se zobrazí na vektor \((3,−1{,}4)\).

  Položte předpis homomorfismu roven vektoru \((3,−1{,}4)\).
  Nalezněte úplný vzor – množinu vektorů, která rovnost splňuje.

• 4. Řešení nápovědy – úplný vzor vektoru

  Pro nalezení úplného vzoru vektoru \((3,-1{,}4)\) jej položíme rovný předpisu homomorfismu.

  \[ f(x,y,z,w) = (x+y-z,2z+3w,3y-2z) = (3,-1{,}4). \] Tato vektorová rovnice nám dává soustavu tří rovnic o čtyřech neznámých. \[ \begin{array}{rrrrrrrrrr} x & + & y & - & z & & & = & 3 & \qquad \mathrm{(1)}\\ & & & & 2z & + & 3w & = & -1 & \qquad \mathrm{(2)}\\ & & 3y & -& 2z & & & = & 4 & \qquad \mathrm{(3)} \\ \end{array} \] Zvolíme parametr \(w\in\mathbb{R}\). Sečtením rovnic (2) a (3) máme \[ 3y + 3w = 3 \qquad \Rightarrow \qquad y = 1-w. \] Z rovnice (2) získáme \[ z = -\frac{1}{2}(1+3w) = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} w. \] Poslední neznámou \(x\) dopočítáme z rovnice (1) užitím všech získaných vyjádření \[ x = 3 - y + z = 3 -(1 - w) + \left(-\frac{1}{2} - \frac{3}{2} w\right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}w. \]

  Úplným vzorem vektoru \((3,−1{,}4)\) je

  \[ \begin{eqnarray} f^{-1}(3,-1{,}4) = \bigg\{ \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}w, 1-w, -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} w, w \right);~w\in\mathbb{R} \bigg\} &=&\\ = \bigg\{ \left(\frac{3}{2}, 1, -\frac{1}{2},0 \right) - \frac{1}{2}w \left(1, 2, 3, -2 \right);~w\in\mathbb{R} \bigg\} &=&\\ = \bigg\{ \left(\frac{3}{2}, 1, -\frac{1}{2},0 \right) + w^\prime \left(1, 2, 3, -2 \right);~w^\prime\in\mathbb{R} \bigg\} &=&\\ = \left(\frac{3}{2}, 1, -\frac{1}{2},0 \right) + \left[\left(1, 2, 3, -2 \right)\right].\\ \end{eqnarray} \]

  Aby byl výsledný zápis přehlednější, přičteme k prvnímu zlomkovému vektoru vektor \(\frac{1}{2}(1{,}2,3,-2)\), který „vytáhneme“ z druhého členu – lineárního obalu, tj.

  \[ \begin{eqnarray} f^{-1}(3,-1{,}4) = & \left(\frac{3}{2}, 1, -\frac{1}{2},0 \right) + \frac{1}{2}(1{,}2,3,-2) + \left[\left(1, 2, 3, -2 \right)\right] & =\\ = & \left(2, 2, 1,-1 \right) + \left[\left(1, 2, 3, -2 \right)\right]. & \end{eqnarray} \] Našli jsme tedy úplný vzor \[ f^{-1}(3,-1{,}4) = \left(2, 2, 1,-1 \right) + \left[\left(1, 2, 3, -2 \right)\right]. \] Pro zkoušku můžeme ověřit, že skutečně \[ f(2{,}2,1,-1) = (2+2-1{,}2{\cdot}1 - 3{\cdot} 1 , 3{\cdot} 2 - 2{\cdot} 1) = (3, -1, 4). \] Vidíme, že v souladu s větou o úplném vzoru v zadání úlohy, je úplným vzorem vektoru lineární množina. Všiměte si, že lineární obal ve výsledku skutečně odpovídá vypočítanému jádru. Dle této věty tedy můžeme vypočítat libovolný vektor, přidat k němu jádro a máme úplný vzor.

• 5. Nápověda – typ homomorfismu

  Jaké je jádro homomorfismu? Může být homomorfismus monomorfismem? Izomorfismem?

  Do jakého prostoru homomorfismus zobrazuje? Může být homomorfismus endomorfismem? Automorfismem?

  Jaká je dimenze obrazu? Jaká je dimenze prostoru, do kterého homomorfismus zobrazuje? Je homomorfismus epimorfismem?

• 5. Řešení nápovědy – typ homomorfismu

  Jaké je jádro homomorfismu? Může být homomorfismus monomorfismem? Izomorfismem?

  Jádro je nenulové a proto podle uvedené věty o monorfismu a jádru nemůže být \(f\) monomorfismem. Zobrazení tedy není injektivní a tedy ani bijektivní a \(f\) nemůže být izomorfismus.

  Do jakého prostoru homomorfismus zobrazuje? Může být homomorfismus endomorfismem? Automorfismem?

  Homomorfismus je mezi různými prostory a proto není endomorfismem a tudíž ani automorfismem.

  Jaká je dimenze obrazu? Jaká je dimenze prostoru, do kterého homomorfismus zobrazuje? Je homomorfismus epimorfismem?

  Dimenze obrazu je \(3\) stejně jako prostoru do kterého \(f\) zobrazuje. Homomorfismus \(f\) je surjekce a je tedy epimorfismem!

• Odpověď

  1. \(\mathrm{Ker\,}f = \left[(1{,}2,3,-2\right]\), \(d(f)=1\).
  2. \(\mathrm{Im\,}f = \mathbb{R}^3\), \(r(f)=3.\)
  3. \(f(2,−1{,}0,1)=(1{,}3,−3)\).
  4. \(f^{−1}(3,−1{,}4)=(2{,}2,1,−1)+\left[(1{,}2,3,−2)\right]\).
  5. Homomorfismus \(f\) je epimorfismem.