Sbírka řešených úloh

Lineární závislost I.

Úloha číslo: 1366

• Rozbor

  Ze třech možností řešení představených v úloze Lineární závislost použijeme variantu 3. Úlohu tedy budeme řešit pomocí matice.

• Nápověda 1 – úprava matice

  Složky vektorů množiny \(M\) napište do řádků. Snažte se matici převést do tvaru co nejvíce podobnému schodovité matici.

• Řešení nápovědy 1 – úprava matice

  Složky vektorů množiny \(M\) napíšeme do řádků matice. Matici se budeme snažit upravit na schodovitý tvar.

  \[ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3-b & 3\\ 1 & 2+a & 4 & 6\\ 2 & 4 & b-6 & 7\\ 1 & 2-a & 2-b & 1\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II-I\\ III-2I\\ IV - I\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3-b & 3 \\ 0 & a & 1+b & 3 \\ 0 & 0 & 3b-12 & 1 \\ 0 & -a & -1 & -2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \qquad\sim\\ \phantom{III}\\ IV + II\\ \end{array} \] \[ \sim \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3-b & 3 \\ 0 & a & 1+b & 3 \\ 0 & 0 & 3b-12 & 1 \\ 0 & 0 & b & 1 \\ \end{array} \right) \] Pokračovat v úpravě na schodovitý tvar již nelze. Na řadě bude diskuze vzhledem k parametrům \(a,b.\)

• Nápověda 2 – diskuze vzhledem k parametrům

  Proveďte diskuzi vzhledem k parametrům. Bude-li po dosazení hodnoty parametru třeba, pokračujte v úpravách matice.

• Řešení nápovědy 2 – diskuze vzhledem k parametrům

  Matici jsme v předchozí části upravili do tvaru \[ B = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3-b & 3 \\ 0 & a & 1+b & 3 \\ 0 & 0 & 3b-12 & 1 \\ 0 & 0 & b & 1 \\ \end{array} \right). \]

  • Na základě odstupňovaného tvaru prvních třech řádků matice plyne, že pro \(a\in\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace \) a \(b\in\mathbb{R}\) jsou tyto řádky lineárně nezávislé. Je třeba zjistit, co se stane v případě \(a=0\).

  • Vektory na třetím a čtvrtém řádku matice mají první dvě složky nulové. Je třeba zjistit, v jakých hodnotách parametru \(b\) jsou vektory svým násobkem (či jsou stejné) a v jakých případech jsou lineárně nezávislé.

  ---

  Zkoumejme první situaci, kdy \(a=0\). Za parametr \(a\) do matice \(B\) dosaďme a pokračujme v úpravách na schodovitý tvar. \[ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3-b & 3 \\ 0 & \color{brown}{0} & 1+b & 3 \\ 0 & 0 & 3b-12 & 1 \\ 0 & 0 & b & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III + 12II - 15IV\\ 15IV - 12II - III)\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3-b & 3 \\ 0 & 0 & 1+b & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 22 \\ 0 & 0 & 0 & -22 \\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3-b & 3 \\ 0 & 0 & 1+b & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 22 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \]

  Získali jsme nulový řádek. Pro \(a=0\) je množina \(M\) lineárně závislá.

  ---

  Vraťme se k matici \(B\) a zkoumejme druhou situaci. \[ B = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3-b & 3 \\ 0 & a & 1+b & 3 \\ 0 & 0 & \color{maroon}{3b-12} & \color{purple}{1} \\ 0 & 0 & \color{maroon}{b} & \color{purple}{1} \\ \end{array} \right). \] Množina bude lineárně závislá, budou-li třetí a čtvrtý řádek svými násobky. Vzhledem ke stejné hodnotě obou řádků ve čtvrtém sloupci budeme hledat, pro jaké \(b\) jsou řádky stejné, tj. \[3b-12 = b \quad \Rightarrow \quad b=6.\]

  Množina \(M\) tedy bude lineárně závislá pro hodnotu parametru \(b=6\).

• Odpověď

  Množina

  \[M = \big\{(1{,}2,3-b,3),(1{,}2+a,4{,}6),(2{,}4,b-6{,}7),(1{,}2-a,2-b,1)\big\}\] je

  • pro \(a = 0 \vee b=6\) lineárně závislá,
  • pro \(a \in \mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace \wedge b \in \mathbb{R} \setminus \lbrace 6 \rbrace\) lineárně nezávislá.