Sbírka řešených úloh

Lineární obal I.

Úloha číslo: 1363

• Rozbor

  K určení, zda-li patří vektor \(u\) do lineárního obalu množiny \(M\), využijeme následující větu. (Věta byla dokázána v úloze Lineární obal.)

  Lineární obal a lineární kombinace

  Nechť \(V\) je vektorový prostor nad polem \(T\).

  Lineárním obalem podmnožiny \(M\) prostoru \(V\) je množina všech lineárních kombinací vektorů množiny \(M\) s koeficienty z pole \(T\).

  Na základě této věty tedy stačí zjistit, lze-li vektor \(u\) zapsat jako lineární kombinaci vektorů množiny \(M\).

• Nápověda – pomocí soustavy rovnic

  Aby \(u\in\left[ M \right]\), musí být vektor \(u\) lineární kombinací vektorů množiny \(M\).

  Napište vektorovou rovnici vyjadřující tuto podmínku. Vektorová rovnice představuje pro složky tři skalární rovnice, které tvoří soustavu. Vyřešte ji.

• Řešení nápovědy – pomocí soustavy rovnic

  Vektor \(u\) náleží do lineárního obalu množiny \(M\) existují-li \(a,b,c\in \mathbb{Z}_5\) tak, aby \[a\cdot(2{,}0,3) + b\cdot(4{,}1,4) + c\cdot(3{,}2,2) = (1{,}2,3).\] Pro každou ze složek tak získáme rovnici. Trojice následujících rovnic tvoří soustavu, kterou vyřešíme. Pozor – soustavu řešíme nad \(\mathbb{Z}_5\)! \[ \begin{eqnarray} \phantom{III-4II}\qquad 2a + 4b + 3c &=& 1 \tag{1}\\ b + 2c &=& 2 \tag{2}\\ 3a + 4b + 2c &=& 3 \tag{3}\\ ----&-&--\\ (1)+(2)\qquad 2a\phantom{\,+\,4c\,}&=& 3 \tag{4}\\ (3)+(2)\qquad 3a + 4c &=& 0 \tag{5}\\ ----&-&--\\ \mathrm{z}~(4)\qquad a &=& 4\\ \mathrm{z}~(5)\qquad c &=& 3 a = 2\\ \mathrm{z}~(2)\qquad b &=& 2 + 3c = 3\\ \end{eqnarray} \]

  Soustava má v poli \(\mathbb{Z}_5\) řešení.
  Vektor \(u\) je lineární kombinací vektorů množiny \(M\). Proto \(u\in \left[M\right]\).

• Nápověda – pomocí matice

  Ovládate-li již řešení soustav lineárních rovnic pomocí matic, ověřte že \(u\in\left[M\right].\)

• Řešení nápovědy – soustava pomocí matice

  Řešení pomocí matice přináší oproti předchozímu řešení výhodu – nemusíme počítat konkrétní \(a,b,c\). Soustavu třech rovnic z předchozího řešení \[ \begin{eqnarray} \phantom{III-4II}\qquad 2a + 4b + 3c &=& 1\\ b + 2c &=& 2\\ 3a + 4b + 2c &=& 3\\ \end{eqnarray} \] přepíšeme do matice, kterou pomocí Gaussova eliminačního algoritmu upravíme na odstupňovaný tvar. \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 2 & 3 \\ \end{array} \right) \hspace{-0.3em} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III+I\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 2\\ 0 & 3 & 0 & 4\\ \end{array} \right) \hspace{-0.3em} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II} \\ III+2II\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 3\\ \end{array} \right) \phantom{ \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II} \\ III+2II\\ \end{array} } \]

  Dle Frobeniovy věty má tato soustava řešení, neboť hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy. Vektor \(u\) je tedy prvkem \(\left[M\right].\)

• Poznámka – matice alternativně

  Úloha lze řešit maticí přímo. Souřadnice vektorů množiny \(M\) se napíší do řádků matice a pod ně se přidají souřadnice vektoru \(u\). Užitím Gaussova eliminačního algoritmu matici upravujeme na schodovitý tvar. Získáme-li nulový řádek matice, byla množina lineárně závislá, tj. přidaný vektor \(u\) patřil do lineárního obalu \(\left[M\right]\).

  \[ \phantom{\sim} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{c} \phantom{I}\\ 2\ II + I\\ III + I\\ IV + II\\ \end{array} ~\sim~ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{c} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III + 4 II\\ IV + III\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{c} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ IV + 2III\\ \end{array} \sim~ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \phantom{ \begin{array}{c} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ IV + 2III\\ \end{array}} \] Vektor \(u\) je lineární kombinací vektorů množiny \(M\). Platí tedy, že \(u\in\left[M\right]\).

• Odpověď

  Vektor \(u = (1,\,2,\,3)\) je prkvem lineárního obalu množiny \(M\).