Sbírka řešených úloh

Podprostor vektorového prostoru II.

Úloha číslo: 1361

• Rozbor

  Chceme-li zjistit, zda-li je daná podmnožina podprostorem vektorového prostoru, je třeba ověřit vlastnosti (i) až (iii) obsažené v definici podprostoru.

• Nápověda 1 – neprázdnost množiny

  Ověřte, je-li množina neprázdná. Měla by obsahovat alespoň nulový vektor.

• Řešení nápovědy 1 – neprázdnost množiny

  Množina \(W\) je evidentně neprázdná. Např. pro \(z = 0\) dostáváme nulovou matici \[ O=\left(\, \begin{array}{cc} 0&0\\ 0&0\\ \end{array} \,\right) \in W. \]

• Nápověda 2 – uzavřenost vůči sčítání vektorů

  Ověřte, je-li součet libovolných dvou vektorů množiny \(W\) opět jejím prvkem.

• Řešení nápovědy 2 – uzavřenost vůči sčítání vektorů

  Ukážeme, že součet libovolných vektorů množiny \(W\) dává vektor téže množiny.

  Nechť \(A,B \in W\) \[ A=\left(\, \begin{array}{rl} z_1 & 0\\ -z_1& \overline{z_1}\\ \end{array} \,\right),\quad z_1\in\mathbb{C}, \] \[ B=\left(\, \begin{array}{rl} z_2 & 0\\ -z_2& \overline{z_2}\\ \end{array} \,\right),\quad z_2\in\mathbb{C}. \] Provedeme součet matic \(A,B\) \[A + B = \left(\, \begin{array}{rl} z_1 & 0\\ -z_1& \overline{z_1}\\ \end{array} \,\right) + \left(\, \begin{array}{rl} z_2 & 0\\ -z_2& \overline{z_2}\\ \end{array} \,\right) = \left(\, \begin{array}{rc} z_1 + z_2\phantom{)} & 0\\ -(z_1+z_2)& \overline{z_1}+\overline{z_2}\\ \end{array} \,\right). \] Označíme \(z = z_1 + z_2\). Současně platí \(\overline{z} = \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}\). Matice nabude podoby \[ \begin{eqnarray} A + B = &\left(\,\begin{array}{rc} z & 0\\ -z & \overline{z}\\ \end{array}\,\right) \in W.\\ \mathrm{Porovnejme~s}\quad \color{grey}{W =} &\color{grey}{\left\lbrace\left( \begin{array}{rc} z & 0\\ -z & \bar{z}\\ \end{array} \,\right) , z\in\mathbb{C}\right\rbrace .}\\ \end{eqnarray} \] Je-li \(z_1, z_2 \in\mathbb{C}\), pak i \(z = (z_1 + z_2) \in \mathbb{C}\) a také \(\bar{z} \in \mathbb{C}\).

  Předpisy pro prvky součtové matice \((A+B)\) odpovídají předpisům v matici udávající prkvy množiny \(W\). Množina je uzavřená vůči sčítání.

• Nápověda 3 – uzavřenost na vzití násobku

  Ověřte, zda-li libovolný násobek prvku množiny \(W\) je opět prvkem této množiny. Prvky množiny \(W\) se násobí prvky pole, v našem případě reálnými čísly.

• Řešení nápověda 3 – uzavřenost na vzití násobku

  Ukážeme, že součin libovolného vektoru množiny \(W\) a prvku pole reálných čísel dává opět vektor množiny \(W\).

  Nechť \(A \in W\) a \(\alpha \in \mathbb{R}\). Matice \(A\) má tvar \[A=\left( \begin{array}{rl} z^\prime & 0\\ -z^\prime& \overline{z^\prime}\\ \end{array} \right),\quad z^\prime\in\mathbb{C}.\] Provedeme součin skaláru \(\alpha\) a matice \(A\) \[\alpha\cdot A = \alpha \cdot \left( \begin{array}{rl} z^\prime & 0\\ -z^\prime& \overline{z^\prime}\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rc} \alpha z^\prime & 0\\ -\alpha z^\prime& \alpha \overline{z^\prime}\\ \end{array} \right). \] Označíme \(z = \alpha z^\prime\). Je zřejmé že \(a\overline{z^\prime} = \overline{az^\prime} = \bar{z}\). Je-li \(z^\prime\in\mathbb{C}\), pak \(z =\alpha z^\prime \in \mathbb{C}\) a tedy i \(\bar{z} \in \mathbb{C}\). Matice má nyní tvar \[ \begin{eqnarray} \alpha\cdot A = &\left( \begin{array}{rc} z & 0\\ -z& \alpha \overline{z}\\ \end{array} \right)\in W.\\ \mathrm{Porovnejme~s}\quad \color{grey}{W =} &\color{grey}{\left\lbrace\left( \begin{array}{rc} z & 0\\ -z & \bar{z}\\ \end{array} \,\right) , z\in\mathbb{C}\right\rbrace .}\\ \end{eqnarray} \]

  Tvar předpisů pro prvky matice \(\alpha \cdot A\) odpovídá předpisu prvků množiny \(W\). Množina je uzavřená vůči vzití násobku.

• Odpověď

  Množina \[W = \left\lbrace\left( \begin{array}{cc} z & 0\\ -z& \bar{z}\\ \end{array} \right),~ z\in\mathbb{C}\right\rbrace\] je podprostorem vektorového prostoru \(\mathbb{C}^{2\times 2}\) nad polem \(\mathbb{R}\).