Sbírka řešených úloh

Vektorový prostor IV.

Úloha číslo: 1358

• Rozbor

  Rovinu \(\alpha\) lze popsat jako množinu bodů. Každému bodu roviny můžeme přiřadit vektor (šipku), která vychází z určitého bodu roviny. Každý bod je dán dvojsložkovým vektorem \((x,y)\). Celá rovina je pak množina bodů daná všemi možnými vektory, tj. \(\alpha = \lbrace (x,y);\,x,y\in\mathbb{R}\rbrace\), jak je zapsáno v zadání.

  Geometrická představa roviny je tak nahrazena modelem užívajícím vektorového popisu.

  Uvědomíme si, že prvky množiny \(\wp\) jsou všechny podmnožiny roviny \(\alpha\). Prvky těchto podmnožin jsou vektory, které představují jednotlivé body.

  Operací sčítání prvků množiny \(\wp\) je standartní operace sjednocení množin. Operace násobení prvků množiny \(\wp\) s prvky pole \(\mathbb{R}\) pronásobí obě složky všech vektorů dané podmnožiny daným prvkem pole. Pronásobení číslem \(r\in\mathbb{R}\) geometricky představuje zobrazení množiny bodů ve stejnolehlosti s koeficientem stejnolehlosti \(r\).

• Nápověda 1 – „uzavřenost“ na operace

  Aby množina \(\wp\) byla vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\), je třeba aby součet (tj. sjednocení) libovolných dvou prvků množiny \(\wp\) byl opět jejím prvkem. Stejně tak je třeba, aby po provedení operace násobení prvkem \(r\in\mathbb{R}\) byla podmnožina prvkem množiny \(\wp\).

  Je tomu tak?

• Řešení nápovědy 1 – „uzavřenost“ na operace

  Rovina je představována množinou všech vektorů v rovině

  \[\alpha = \big\{ (x,y);\,x,y\in\mathbb{R}\big\}\]

  Množina, kterou zkoumáme s podezřením na vektorový prostor je

  \[\wp(\alpha)\,\dots\,\mathrm{potenční~množina~množiny~}\alpha.\]

  Potenční množina množiny \(\alpha\) je množina všech podmnožin množiny \(\alpha\).

  Je zřejmé, že

  • Sjednocením libovolných prvků potenční množiny \(\wp(\alpha)\) prvkem \(r\in\mathbb{R}\) získáme opět prvek potenční množiny \(\wp(\alpha)\). Geometricky – sjednocením libovolných částí roviny \(\alpha\) získáme opět část roviny \(\alpha\).

  • Pronásobíme-li složky všech vektorů libovolného prvku potenční množiny \(\wp(\alpha)\) získáme opět prvek potenční množiny \(\wp(\alpha)\). Geometricky – zobrazením části roviny \(\alpha\) ve stejnolehlosti v dané rovině získáme opět část roviny \(\alpha\).

  Požadavek na uzavřenost je splněn.

• Nápověda 1 – asociativní zákon

  Ověříme platnost axiomů. Prověřte, zda-li platí první axiom \[\forall\,A,B,C \in \wp(\alpha):\quad (A\oplus B) \oplus C = A \oplus (B\oplus C).\]

• Řešení nápovědy 1 – asociativní zákon

  Na základě udané operace upravíme levou i pravou stranu axiomu.
  Operace \(\oplus\) je dána jako množinové sjednocení. Pro všechna \(A,B,C\) platí \[\mathrm{L} = (A\oplus B) \oplus C = (A\cup B) \cup C = A \cup B \cup C,\] \[\mathrm{P} = A\oplus (B \oplus C) = A\cup (B \cup C) = A \cup B \cup C.\]

  Na pořadí sjednocování množin nezáleží. Neboť \(\mathrm{L} = \mathrm{P}\), axiom (i) je splněn.

• Nápověda 2 – komutativní zákon

  Prověřte, zda-li platí druhý axiom \[\forall\,A,B \in \wp(\alpha):\quad A\oplus B = B\oplus A.\]

• Řešení nápovědy 2 – komutativní zákon

  Na základě udané operace upravíme levou i pravou stranu axiomu.
  Operace \(\oplus\) je dána jako množinové sjednocení. Pro všechna \(A,B\) platí \[\mathrm{L} = A \oplus B = A \cup B\] \[\mathrm{P} = B \oplus A = B \cup A.\]

  Operace sjednocení je komutativní. Proto \(\mathrm{L} = \mathrm{P}\) a axiom (ii) je tedy splněn.

• Nápověda 3 – existence nulového vektoru

  Prověřte, zda-li platí třetí axiom \[\exists \bar{0}\in \wp(\alpha) \quad\forall A\in \wp(\alpha): \qquad \bar{0} \oplus A = A.\]

  Tj. existuje nějaký nulový prvek \(\bar{0}\) v \(\wp(\alpha)\), takový, abych po sjednocení tohoto nulového prvku s libovolným prvkem množiny \(\wp(\alpha)\) získal tentýž prvek?

• Řešení nápovědy 3 – existence nulového vektoru

  Hledáme prvek \(\bar{0}\) množiny \(\wp(\alpha)\) tak aby pro všechny prvky \(A\) množiny \(\wp(\alpha)\)

  \[\bar{0} \oplus A = A.\]

  Operace \(\oplus\) představuje množinové sjednocení

  \[\bar{o} \cup A = A.\]

  Nulovému prvku vyhovuje prázdná množina

  \[\bar{0} = \lbrace~\rbrace.\]

  Prázdná množina je prvkem potenční množiny \(\wp(\alpha)\). Axiom (iii) je tedy splněn.

• Nápověda 4 - existence opačných vektorů

  Prověřte, zda-li platí čtvrtý axiom \[\forall A \in \wp(\alpha) \quad \exists (-\bar{A}) \in \wp(\alpha): \qquad A \oplus (-\bar{A}) = \bar{0}.\]

  Tj. existuje pro každý vektor \(A\) množiny \(\wp(\alpha)\) opačný vektor \((-\bar{A})\), tavový, že součet vektoru a jeho opačného vektoru dává nulový vektor?

• Řešení nápovědy 4 – existence opačných vektorů

  Pro každý vektor \(A\) množiny \(\wp(\alpha)\) máme najít opačný vektor \((-\bar{A})\), tak aby platilo

  \[ A \oplus (-\bar{A}) = \lbrace~~\rbrace,\]

  kde jsme dosadili nulový vektor \(\bar{0} = \lbrace~\rbrace\) získaný při ověřování předchozího axiomu.

  Operace \(\oplus\) představuje množinové sjednocení

  \[ A \cup (-\bar{A}) = \lbrace~~\rbrace.\]

  Prvky množiny \(\wp(\alpha)\) nemají kromě nulového vektoru opačné vektory.

  Axiom (iv) není splněn. Ověřování dalších axiomů již netřeba.

• Odpověď

  Množina \(\wp(\alpha)\) všech podmnožin roviny \(\alpha\) s operacemi \(\oplus, \odot\) netvoří vektorový prostor nad polem \(\mathbb{R}\).