Sbírka řešených úloh

Determinant z definice I. 

Úloha číslo: 1337

• Rozbor

  Veškerá potřebná teorie pro výpočet je obsažena v úloze Jak na determinanty.

  Metody výpočtu determinantů přímo z definice využíváme převážně v případě, když jsou v matici hojně zastoupeny nuly. Výpočet se tak zásadně zjednoduší.

• Nápověda – výpočet determinantu

  Uvědomte si význam jednotlivých symbolů v definičním vztahu determinantu. Berte v potaz, že v každém sčítanci výsledné sumy se vyskytuje vždy právě jeden prvek z každého řádku a vždy právě jeden prvek z každého sloupce; nemůžeme tedy vybrat dva prvky z jednoho sloupce či dva prvky z jednoho řádku.

  Které sčítance sumy budou nulové a které nikoliv? Determinant vypočtěte!

• Řešení nápovědy – výpočet determinantu

  Víme, že determinant čtvercové matice \(A\) řádu \(n\) je dán sumou

  \[\det{A} = \sum_{P \in \mathbb{S}_n} {\mathrm{sqn\,}{P}\cdot a_{p(1)1}\cdot\ldots \cdot a_{p(n)n}}.\]

  • Vidíme, že ve třetím sloupci můžeme vybrat pouze prvek \(\color{blue}{3}\) na třetí pozici, v ostatních případech by byl člen sumy nulový.

    \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 2\\ 0 & 6 & 0 & 0\\ 2 & 5 & \color{blue}{3} & 4\\ 7 & 4 & 0 & 0 \end{vmatrix} \hspace{6em} \begin{vmatrix} 1 & 3 & \color{red}{0} & 2\\ 0 & 6 & \color{red}{0} & 0\\ \color{red}{2} & \color{red}{5} & \color{blue}{3} & \color{red}{4}\\ 7 & 4 & \color{red}{0} & 0 \end{vmatrix} \]

    Tato volba ale znamená, že jako další prvek již nemůžeme volit prvky třetího řádku a třetího sloupce.

  • Na první pohled vidíme, že jedinou možnou nenulovou volbou ve čtvrtém sloupci je prvek \(\color{blue}{2}\) na první pozici.

    \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 & \color{red}{0} & \color{blue}{2}\\ 0 & 6 & \color{red}{0} & 0\\ \color{red}{2} & \color{red}{5} & \color{blue}{3} & \color{red}{4}\\ 7 & 4 & \color{red}{0} & 0 \end{vmatrix} \hspace{6em} \begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{3} & \color{red}{0} & \color{blue}{2}\\ 0 & 6 & \color{red}{0} & \color{red}{0}\\ \color{red}{2} & \color{red}{5} & \color{blue}{3} & \color{red}{4}\\ 7 & 4 & \color{red}{0} & \color{red}{0} \end{vmatrix} \]

    Dalšími prvky tedy nemůžeme volit ani prvky čtvrtého sloupce a prvního řádku.

  • Předchozí volba nám jednoznačně určuje další volbu nenulového prvku a to sice v prvním sloupci prvek \(\color{blue}{7}\) ve čtvrtém řádku.

    \[ \begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{3} & \color{red}{0} & \color{blue}{2}\\ 0 & 6 & \color{red}{0} & \color{red}{0}\\ \color{red}{2} & \color{red}{5} & \color{blue}{3} & \color{red}{4}\\ \color{blue}{7} & 4 & \color{red}{0} & \color{red}{0} \end{vmatrix} \hspace{6em} \begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{3} & \color{red}{0} & \color{blue}{2}\\ \color{red}{0} & 6 & \color{red}{0} & \color{red}{0}\\ \color{red}{2} & \color{red}{5} & \color{blue}{3} & \color{red}{4}\\ \color{blue}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{0} & \color{red}{0} \end{vmatrix} \]

    Volbou tohoto prvku vypadávají ze „hry“ prvky prvního sloupce a čtvrtého řádku.

  • Předchozí volba jednoznačně určuje poslední volený/zbývající prvek a to sice prvek \(\color{blue}{6}\) ve druhém sloupci a druhém řádku.

    \[ \begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{3} & \color{red}{0} & \color{blue}{2}\\ \color{red}{0} & \color{blue}{6} & \color{red}{0} & \color{red}{0}\\ \color{red}{2} & \color{red}{5} & \color{blue}{3} & \color{red}{4}\\ \color{blue}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{0} & \color{red}{0} \end{vmatrix} \]

  Z posloupnosti volených prvků víme, že volba byla vždy jednoznačná. Ostatní sčítance výsledné sumy ve výpočtu determinantu jsou tedy nulové.

  Jediný nenulový součin v sumě je tedy tento

  \[7\,\cdot\, 6\,\cdot\, 3 \,\cdot\, 2 = b_{41}\, b_{22}\, b_{33}\, b_{14},\]

  kterému odpovídá permutace

  \[P= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix},\]

  jejíž znaménko je

  \[\mathrm{sgn\,} P = (-1)^{4-3}=-1.\]

  Determinant je tedy roven

  \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 2\\ 0 & 6 & 0 & 0\\ 2 & 5 & 3 & 4\\ 7 & 4 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathrm{sgn\,}P \cdot b_{41}\, b_{22}\, b_{33}\, b_{14} = (-1)\,\cdot\,7\,\cdot\, 6\,\cdot\, 3 \,\cdot\, 2 = 4. \]

• Odpověď

  Determinant nad komutativním okruhem \(\mathbb{Z}_8\) je \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 2\\ 0 & 6 & 0 & 0\\ 2 & 5 & 3 & 4\\ 7 & 4 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 4. \]

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.