Sbírka řešených úloh

Násobení matic IV.

Úloha číslo: 1311

• Rozbor

  Budeme postupovat podle definice součinu matic.

  Kdykoli máme určit součin dvou a více matic, je důležité nejprve ověřit proveditelnost tohoto úkonu. Tedy, jestli jsou všechny zadané matice v rámci posloupnosti násobení přijatelného typu. V opačném případě není možné matice násobit.

  Dále je dobré mít na paměti, že matice jsou vždy zadány alespoň nad okruhem, kde je násobení asociativní a tedy můžeme této vlastnosti využívat. Musíme si ale dát pozor, že násobení matic není obecně komutativní, proto je třeba vždy pečlivě zachovávat posloupnost jednotlivých součinů.

  Matice bývají často zadány nad tělesem \(\mathbb{Z}_p\), kde \(p\) je prvočíslo (má to své využití v praxi). V těchto případech je nutné ovládat počítání a převody čísel v konečných tělesech, které představuje úloha Z modulo n.

• Nápověda 1 – proveditelnost součinu

  Ověřte, zda je možné uvedené matice v dané posloupnosti násobit.

• Řešení nápovědy 1 – proveditelnost součinu

  Dvě matice \(A,B\) můžeme násobit, je-li \(A=(a_{ij})_{m\times n}\) a \(B= (b_{jk})_{n\times p}\).
  Jinými slovy, je-li počet sloupců první matice roven počtu řádků druhé.

  • Matice \( A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \) je typu \(2\times 2\), (má 2 řádky a 2 sloupce).

  • Matice \(B= \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \) je typu \(2\times 1\), (má 2 řádky a 1 sloupec).

  • Matice \(C= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \) je typu \(1\times 3\), (má 1 řádek a 3 sloupce).

  První matice má dva sloupce, stejně jako druhá matice řádků. Výsledkem jejich násobení bude matice typu \(2\times 1\), která má sloupec jeden, stejně jako má třetí matice řádků. Jejich součinem bude matice typu \(2\times 3\). Matice lze vynásobit.

• Nápověda 2 – součin matic

  Zadané matice nyní dle definice součinu matic vynásobte.

• Řešení nápovědy 2 – součin matic

  Nejprve vynásobíme matice \(A,B\)

  \[A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}=\]

  Z definice součinu víme, že jestliže je \(A\) typu \(2 \times 2\) a \(B\) typu \(2 \times 1\), pak matice vzniklá součinem bude typu \(2 \times 1\).

  z definice součinu dále víme, že se prvek výsledné matice \(D=A\cdot B\) na pozici \(ij\) rovná \(\sum_{j=1}^2 a_{ij}\cdot b_{jk}\), kde \(a_{ij}\) je prvek matice \(A\) na pozici \(ij\) a \(b_{jk}\) prvek matice \(B\) na pozici \(jk\), tedy

  \[ = \begin{pmatrix} 1{\cdot} 0 + 2{\cdot} 2 \\ 0{\cdot} 0 + 2{\cdot} 2 \\ \end{pmatrix} = \color{grey}{\begin{pmatrix} 0+4\\ 0+4\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 4\\ \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}=D. \]

  Šedé matice by se ve výpočtu neměly vůbec objevit, neboť některé z jejich prvků nejsou v poli \(\mathbb{Z}_4\) obsaženy.

  ---

  Nyní matici \(D\) vzniklou součinem matic \(A,B\) vynásobíme s maticí \(C\).

  \[D\cdot C= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}=\]

  Z definice součinu víme, že jestliže je \(D\) typu \(2 \times 1\) a C typu \(1 \times 3\), pak matice vzniklá součinem bude typu \(2 \times 3\).

  Z definice součinu dále víme, že se prvek výsledné matice \(V=D\cdot C\) na pozici \(ij\) rovná \(\sum_{j=1}^1 d_{ij}\cdot c_{jk}\), kde \(d_{ij}\) je prvek matice D na pozici \(ij\) a \(bc_{jk}\) prvek matice C na pozici \(jk\), tedy

  \[=\begin{pmatrix} 1{\cdot} 1 & 1{\cdot} 2 & 1{\cdot} 0\\ 1{\cdot} 1 & 1{\cdot} 2 & 1{\cdot} 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}. \]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Nejprve vynásobíme první dvě matice. \[A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}=D\] Výsledkem násobení je matice \(D\), kterou nyní přenásobíme maticí \(C\). \[D\cdot C= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \] Tím jsme získali matici \(A\cdot B\cdot C\).

• Odpověď

  Výsledkem násobení je matice \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}. \]

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.