Sbírka řešených úloh

Násobení matic III.

Úloha číslo: 1310

• Rozbor

  Budeme postupovat podle definice součinu matic.

  Kdykoli máme určit součin dvou a více matic, je důležité nejprve ověřit proveditelnost tohoto úkonu. Tedy, jestli jsou všechny zadané matice v rámci posloupnosti násobení přijatelného typu. V opačném případě není možné matice násobit.

  Dále je dobré mít na paměti, že matice jsou vždy zadány alespoň nad okruhem, kde je násobení asociativní a tedy můžeme této vlastnosti využívat. Musíme si ale dát pozor, že násobení matic není obecně komutativní, proto je třeba vždy pečlivě zachovávat posloupnost jednotlivých součinů.

  Matice bývají často zadány nad tělesem \(\mathbb{Z}_p\), kde \(p\) je prvočíslo (má to své využití v praxi). V těchto případech je nutné ovládat počítání a převody čísel v konečných tělesech, které představuje úloha Z modulo n.

• Nápověda 1 – proveditelnost součinu

  Ověřte, zda je možné uvedené matice v dané posloupnosti násobit.

• Řešení nápovědy 1 – proveditelnost součinu

  Dvě matice \(A,B\) můžeme násobit, je-li \(A=(a_{ij})_{m\times n}\) a \(B= (b_{jk})_{n\times p}\).
  Jinými slovy, je-li počet sloupců první matice roven počtu řádků druhé.

  Matice \( A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} \) je čtvercová matice řádu \(4\).

  Matice \( B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \) je čtvercová matice řádu \(4\).

  Zadané matice lze násobit v obou směrech, neboť první má stejný počet sloupců jako druhá řádků a naopak. Čtvercové matice daného řádu lze libovolně násobit.

• Nápověda 2 – součin matic

  Zadané matice nyní dle definice součinu matic vynásobte. Proveďte jak součin \(A\cdot B\), tak součin \(B\cdot A\). Výsledky obou násobení porovnejte.

  Pozor, pracujeme nad polem \(\mathbb{Z}_4\)!

• Řešení nápovědy 2 – součin matic

  Nejprve vynásobme matice \(A,B\) v tomto pořadí.

  \[A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 2 \end{pmatrix} =\]

  Z definice součinu matic plyne, že jestliže jsou obě matice typu \(4 \times 4\), pak bude matice vzniklá součinem opět typu \(4 \times 4\). Součinem dvou čtvercových matic řádu n je opět čtvercová matice řádu n.

  Z definice součinu dále víme, že se prvek výsledné matice \(C=A\cdot B\) na pozici \(ij\) rovná \(\sum_{j=1}^4 a_{ij}\cdot b_{jk}\), kde \(a_{ij}\) je prvek matice \(A\) na pozici \(ij\) a \(b_{jk}\) prvek matice \(B\) na pozici \(jk\), tedy

  \[=\left(\begin{smallmatrix} 1{\cdot} 1 + 0 {\cdot} 0 + 0{\cdot} 0 + 3{\cdot} 0 ~~ & 1{\cdot} 0 + 0 {\cdot} 1 + 0{\cdot} 0 + 3{\cdot} 2 ~~ & 1{\cdot} 0 + 0 {\cdot} 0 + 0{\cdot} 0 + 3{\cdot} 3 ~~ & 1{\cdot} 3 + 0 {\cdot} 1 + 0{\cdot} 1 + 3{\cdot} 2 \\ 1{\cdot} 1 + 2 {\cdot} 0 + 0{\cdot} 0 + 2{\cdot} 0 ~~ & 1{\cdot} 0 + 2 {\cdot} 1 + 0{\cdot} 0 + 2{\cdot} 2 ~~ & 1{\cdot} 0 + 2 {\cdot} 0 + 0{\cdot} 0 + 2{\cdot} 3 ~~ & 1{\cdot} 3 + 2 {\cdot} 1 + 0{\cdot} 1 + 2{\cdot} 2 \\ 1{\cdot} 1 + 1 {\cdot} 0 + 0{\cdot} 0 + 0{\cdot} 0 ~~ & 1{\cdot} 0 + 1 {\cdot} 1 + 0{\cdot} 0 + 0{\cdot} 2 ~~ & 1{\cdot} 0 + 1 {\cdot} 0 + 0{\cdot} 0 + 0{\cdot} 3 ~~ & 1{\cdot} 3 + 1 {\cdot} 1 + 0{\cdot} 1 + 0{\cdot} 2 \\ 1{\cdot} 1 + 2 {\cdot} 0 + 3{\cdot} 0 + 0{\cdot} 0 ~~ & 1{\cdot} 0 + 2 {\cdot} 1 + 3{\cdot} 0 + 0{\cdot} 2 ~~ & 1{\cdot} 0 + 2 {\cdot} 0 + 3{\cdot} 0 + 0{\cdot} 3 ~~ & 1{\cdot} 3 + 2 {\cdot} 1 + 3{\cdot} 1 + 0{\cdot} 2 \end{smallmatrix}\right) = \] \[=\begin{pmatrix} 1 + 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 + 6 & 0 + 0 + 0 + 9 & 3 + 0 + 0 + 6 \\ 1 + 0 + 0 + 0 & 0 + 2 + 0 + 4 & 0 + 0 + 0 + 6 & 3 + 2 + 0 + 4 \\ 1 + 0 + 0 + 0 & 0 + 1 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 + 0 & 3 + 1 + 0 + 0 \\ 1 + 0 + 0 + 0 & 0 + 2 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 + 0 & 3 + 2 + 3 + 0 \end{pmatrix} = \] \[=\color{grey}{ \begin{pmatrix} 1 & 6 & 9 & 9 \\ 1 & 6 & 6 & 9 \\ 1 & 1 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{pmatrix}} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

  Šedá matice by se ve výpočtu neměla vůbec objevit, neboť některé z jejich prvků nejsou v poli \(\mathbb{Z}_4\) obsaženy.

  ---

  Nyní matice vynásobíme v obráceném pořadí.

  \[B\cdot A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} =\]

  Z definice součinu matic plyne, že jestliže jsou obě matice typu \(4 \times 4\), pak bude matice vzniklá součinem opět typu \(4 \times 4\). Součinem dvou čtvercových matic řádu n je opět čtvercová matice řádu n.

  Z definice součinu dále víme, že se prvek výsledné matice \(C=A\cdot B\) na pozici \(ij\) rovná \(\sum_{j=1}^4 a_{ij}\cdot b_{jk}\), kde \(a_{ij}\) je prvek matice \(A\) na pozici \(ij\) a \(b_{jk}\) prvek matice \(B\) na pozici \(jk\), tedy

  \[=\left(\begin{smallmatrix} 1{\cdot} 1 + 0 {\cdot} 1 + 0{\cdot} 1 + 3{\cdot} 1 ~~ & 1{\cdot} 0 + 0{\cdot} 2 + 0{\cdot} 1 + 3{\cdot} 2 ~~ & 1{\cdot} 0 + 0 {\cdot} 0 + 0{\cdot} 0 + 3{\cdot} 3 ~~ & 1{\cdot} 3 + 0 {\cdot} 2 + 0{\cdot} 0 + 3{\cdot} 0 \\ 0{\cdot} 1 + 1{\cdot} 1 + 0{\cdot} 1 + 1{\cdot} 1 ~~ & 0{\cdot} 0 + 1{\cdot} 2 + 0{\cdot} 1 + 1{\cdot} 2 ~~ & 0{\cdot} 0 + 1 {\cdot} 0 + 0{\cdot} 0 + 1{\cdot} 3 ~~ & 0{\cdot} 3 + 1 {\cdot} 2 + 0{\cdot} 0 + 1{\cdot} 0 \\ 0{\cdot} 1 + 0 {\cdot} 1 + 0{\cdot} 1 + 1{\cdot} 1 ~~ & 0{\cdot} 0 + 0 {\cdot} 2 + 0{\cdot} 1 + 1{\cdot} 2 ~~ & 0{\cdot} 0 + 0 {\cdot} 0 + 0{\cdot} 0 + 1{\cdot} 3 ~~ & 0{\cdot} 3 + 0 {\cdot} 2 + 0{\cdot} 0 + 1{\cdot} 0 \\ 0{\cdot} 1 + 2{\cdot} 1 + 3{\cdot} 1 + 2{\cdot} 1 ~~ & 0{\cdot} 0 + 2 {\cdot} 2 + 3{\cdot} 1 + 2{\cdot} 2 ~~ & 0{\cdot} 0 + 2 {\cdot} 0 + 3{\cdot} 0 + 2{\cdot} 3 ~~ & 0{\cdot} 3 + 2 {\cdot} 2 + 3{\cdot} 0 + 2{\cdot} 0 \end{smallmatrix}\right) = \] \[=\begin{pmatrix} 1+ 0 + 0 + 3 & 0 + 0 +0 + 6 & 0 + 0 + 0 + 9 & 3 + 0 + 0 + 0\\ 0+ 1 + 0 + 1 & 0+ 2+ 0 + 2 & 0 + 0 + 0 + 3 & 0 + 2 + 0 + 0 \\ 0 + 0 + 0 + 1 & 0 + 0+ 0 + 2 & 0 + 0 + 0 + 3 & 0 + 0 + 0 + 0 \\ 0 + 2 + 3 + 2 & 0 +4 + 3 + 4 & 0 + 0 + 0 + 6 & 0 + 4 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \] \[=\color{grey}{ \begin{pmatrix} 4 & 6 & 9 & 3 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 0\\ 7 & 11 & 6 & 4 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3 & 0\\ 3 & 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}. \]

  Šedá matice by se ve výpočtu neměla vůbec objevit, neboť některé z jejich prvků nejsou v poli \(\mathbb{Z}_4\) obsaženy.

  Násobení matic není obecně komutativní, neboť \(A\cdot B \ne B\cdot A\).

• Odpověď

  Zjistli jsme, že \[A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3 & 0\\ 3 & 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} = B\cdot A. \]

  Násobení matic tedy není obecně komutativní.

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.