Sbírka řešených úloh

Součet matic IV.

Úloha číslo: 1307

• Rozbor

  Budeme postupovat podle definice součtu matic.

  Kdykoli máme určit součet dvou a více matic, je důležité nejprve ověřit proveditelnost tohoto úkonu. Tedy, jestli jsou všechny zadané matice stejného typu \(m\times n\). V opačném případě není možné matice sčítat.

  Dále je dobré mít na paměti, že matice jsou vždy zadány alespoň nad okruhem, kde je sčítání komutativní a asociativní. V důsledku toho je sčítání matic rovněž komutativní a asociativní. Těchto vlastností můžeme využívat a matice sčítat v libovolném pořadí.

  Matice bývají často zadány nad tělesem \(\mathbb{Z}_p\), kde \(p\) je prvočíslo (má to své využití v praxi). V těchto případech je nutné ovládat počítání a převody čísel v konečných tělesech, které představuje úloha Z modulo n.

• Nápověda 1 – proveditelnost součtu

  Ověřte z definice součtu matic, zda je možné uvedené matice sečíst.

• Řešení nápovědy 1 – proveditelnost součtu

  Matice \(A= \left(\begin{smallmatrix} 0 & 6 & 5 & 1 \\ 1 & 5 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \end{smallmatrix}\right)\) je typu \(4\times 4\), (má 4 řádky a 4 sloupce).

  Matice \( B=\left(\begin{smallmatrix} 2 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 6 & 2 & 4 & 4 \end{smallmatrix}\right)\) typu \(4\times 4\), (má také 4 řádky a 4 sloupce).

  Obě zadané matice jsou stejného typua lze je tedy dle definice sečíst.

• Nápověda 2 – součet matic

  Zadané matice nyní dle definice součtu matic a definice násobení matice skalárem sečtěte.

• Řešení nápovědy 2 – součet matic

  Sečteme \(3\)-násobek matice \(A\) a \((-1)\)-násobek matice \(B\) nad polem \(\mathbb{Z}_7\)

  \[3\cdot A+ (-1) \cdot B=3\cdot \begin{pmatrix} 0 & 6 & 5 & 1 \\ 1 & 5 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 6 & 2 & 4 & 4 \end{pmatrix}=\]

  z definice násobení matice skalárem pišme

  \[= \begin{pmatrix} 3 {\cdot} 0 & 3 {\cdot} 6 & 3 {\cdot} 5 & 3 {\cdot} 1 \\ 3 {\cdot} 1 & 3 {\cdot} 5 & 3 {\cdot} 4 & 3 {\cdot} 2 \\ 3 {\cdot} 2 & 3 {\cdot} 0 & 3 {\cdot} 2 & 3 {\cdot} 4 \\ 3 {\cdot} 0 & 3 {\cdot} 2 & 3 {\cdot} 2 & 3 {\cdot} 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 {\cdot} 2 & -1 {\cdot} 3 & -1 {\cdot} 0 & -1 {\cdot} 0 \\ -1 {\cdot} 1 & -1 {\cdot} 5 & -1 {\cdot} 6 & -1 {\cdot} 1 \\ -1 {\cdot} 0 & -1 {\cdot} 1 & -1 {\cdot} 2 & -1 {\cdot} 5 \\ -1 {\cdot} 6 & -1 {\cdot} 2 & -1 {\cdot} 4 & -1 {\cdot} 4 \end{pmatrix}=\] \[= \color{grey}{ \begin{pmatrix} 0 & 18 & 15 & 3 \\ 3 & 15 & 12 & 6 \\ 6 & 0 & 6 & 12 \\ 0 & 6 & 6 & 9 \end{pmatrix}} + \color{grey}{ \begin{pmatrix} -2 & -3 & 0 & 0 \\ -1 & -5 & -6 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & -5 \\ -6 & -2 & -4 & -4 \end{pmatrix}}=\]

  dle pravidel pro počítání v tělese \(\mathbb{Z}_7\) musíme záporná čísla čísla mimo pole nahradit

  \[=\begin{pmatrix} 0 & 4& 1 & 3 \\ 3 & 1 & 5 & 6 \\ 6 & 0 & 6 & 5 \\ 0 & 6 & 6 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 4 & 0 & 0 \\ 6 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 6 & 5 & 2 \\ 1 & 5 & 3 & 3 \end{pmatrix}=\]

  z definice součtu se prvek výsledné matice \(C=A+B\) na pozici \(ij\) rovná součtu prvku matice \(A\) na pozici \(ij\) a prvku matice \(B\) na pozici \(ij\), tedy

  \[=\begin{pmatrix} 0+5 & 4+4 & 1+0 & 3+0 \\ 3+6 & 1+2 & 5+1 & 6+6 \\ 6+0 & 0+6 & 6+5 & 5+2 \\ 0+1 & 6+5 & 6+3 & 2+3 \end{pmatrix} = \color{grey}{ \begin{pmatrix} 5 & 8 & 1 & 3 \\ 9 & 3 & 6 & 12 \\ 6 & 6 & 11 & 7 \\ 1 & 11 & 9 & 5 \end{pmatrix}}= \]

  dle pravidel pro počítání v tělese \(\mathbb{Z}_7\) nutno čísla mimo pole přepsat

  \[= \begin{pmatrix} 5 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 6 & 5 \\ 6 & 6 & 4 & 0 \\ 1 & 4 & 2 & 5 \end{pmatrix}.\]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Matice jsou stejného typu. Lze je tedy sčítat. \[3A - B=3 \begin{pmatrix} 0 & 6 & 5 & 1 \\ 1 & 5 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 6 & 2 & 4 & 4 \end{pmatrix}=\] \[=\begin{pmatrix} 0 & 4& 1 & 3 \\ 3 & 1 & 5 & 6 \\ 6 & 0 & 6 & 5 \\ 0 & 6 & 6 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 4 & 0 & 0 \\ 6 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 6 & 5 & 2 \\ 1 & 5 & 3 & 3 \end{pmatrix}=\] \[= \begin{pmatrix} 5 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 6 & 5 \\ 6 & 6 & 4 & 0 \\ 1 & 4 & 2 & 5 \end{pmatrix}.\]

• Odpověď

  Výsledkem je matice \[\begin{pmatrix} 5 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 6 & 5 \\ 6 & 6 & 4 & 0 \\ 1 & 4 & 2 & 5 \end{pmatrix}.\]

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.