Zobrazení netopýra kulovým zrcadlem a spojnou čočkou

Úloha číslo: 1247

netopýr

Mládě netopýra je \(4 \mathrm{cm}\) vysoké. Určete

a) poloměr křivosti kulového zrcadla, které zobrazí netopýra tak, aby jeho obraz byl dvakrát vyšší, převrácený a byl \(12 \mathrm{cm}\) před zrcadlem.

b) ohniskovou vzdálenost spojné čočky, která zobrazí netopýra tak, aby jeho obraz byl dvakrát vyšší, přímý a byl \(12 \mathrm{cm}\) před spojnou čočkou.

  • Znaménková konvence pro kulová zrcadla a pro čočky

    V dalším výkladu budeme předpokládat, že se paprsky světla vždy šíří zleva doprava.

    Poznámka: Znaménkovou konvenci jsme zvolili tak, jak je uvedena v učebnici pro gymnázia. Můžete se setkat i s jinak zvolenou znaménkovou konvencí, která však vede k modifikaci vztahů geometrické optiky. Vždy je proto nutné přebírat vztahy i s jejich znaménkovou konvencí.

  • Nápověda 1

    Využijte znaménkové konvence a napište zápis úlohy.

  • Nápověda 2

    V obou případech (a) i b)) máme zadanou výšku předmětu \(y \), výšku obrazu \(y'\) a obrazovou vzdálenost \(a'\). Potřebujeme najít vztah mezi těmito veličinami. Čemu odpovídá poměr výšky obrazu a výšky předmětu?

  • Nápověda 3

    Uvědomte si, že tvar zobrazovací rovnice je stejný jak pro kulová zrcadla, tak pro čočky. Využitím zobrazovací rovnice a vztahu (3) z předchozí nápovědy určete ohniskovou vzdálenost \(f\).

  • Nápověda 4

    Nyní již můžeme vypočítat ohniskovou vzdálenost spojné čočky. Ještě ale potřebujeme zjistit, jaký je vztah mezi ohniskovou vzdáleností kulového zrcadla \(f\) a jeho poloměrem křivosti \(r\). Využitím vztahu (4) vyjádřete poloměr křivosti \(r\).

  • Nápověda 5

    Napište číselné řešení úlohy. Číselné řešení otázky a) dostanete dosazením do vztahu (5) a otázky b) do vztahu (4).

    a) Dle výsledku určete, zda se jedná o duté či o vypuklé zrcadlo.

    b) Vyjde hodnota ohniskové vzdálenosti spojky kladná, jak jsme předpokládali?

  • Celkové řešení

    Zápis

    \(y= 4 \mathrm{cm}\) výška mláděte netopýra
     
    a) Zobrazení kulovým zrcadem
    \(y'=−8 \mathrm{cm}\) výška obrazu mláděte netopýra (*)
    \(a'= 12 \mathrm{cm}\) obrazová vzdálenost (**)
    \(r= ?\) poloměr křivosti zrcadla (?)

    (*) Dle zadání je výška obrazu dvojnásobná oproti výšce předmětu (\(2{\cdot}4 \mathrm{cm}= 8 \mathrm{cm}\)). Hodnota výšky obrazu je záporná, protože je obraz převrácený a nachází se tedy pod optickou osou.

    (**) Obrazová vzdálenost je kladná, protože se obraz nachází před zrcadlem.

    (?) Dle znaménkové konvence poloměr křivosti bude kladný, pokud se jedná o duté zrcadlo a záporný pro vypuklé zrcadlo.

     

    b) Zobrazení spojnou čočkou
    \(y'= 8 \mathrm{cm}\) výška obrazu mláděte netopýra (***)
    \(a'=−12 \mathrm{cm}\) obrazová vzdálenost (****)
    \(f= ?\) ohnisková vzdálenost spojné čočky (??)

    (***) Dle zadání je výška obrazu dvojnásobná oproti výšce předmětu (\(2{\cdot}4 \mathrm{cm}= 8 \mathrm{cm}\)). Hodnota výšky obrazu je kladná, protože je obraz přímý a nachází se tedy nad optickou osou.

    (****) Obrazová vzdálenost je záporná, protože se obraz nachází před čočkou.

    (??) Dle znaménkové konvence je ohnisková vzdálenost spojné čočky kladná.

     

    Poměr výšky obrazu a předmětu

    Potřebujeme najít vztah mezi předmětovou vzdáleností \(a\), obrazovou vzdáleností \(a'\), výškou předmětu \(y\) a výškou obrazu \(y'\). Poměr výšky obrazu a výšky předmětu odpovídá příčnému zvětšení \(Z\): \[ Z=\frac{y'}{y}.\tag{1}\]

    Dále pro příčné zvětšení \(Z\) platí: \[ Z=−\frac{a'}{a},\tag{2}\] kde \(a\) je předmětová vzdálenost a \(a'\) je obrazová vzdálenost.

    Porovnáním (1), (2) dostaneme vztah mezi \(y \), \(y'\) a \(a'\): \[ \frac{y'}{y}=−\frac{a'}{a}.\tag{3}\] Nyní jsme si připravili vztah, který použijeme dále v řešení.

     

    Zobrazovací rovnice

    Uvědomíme si, že tvar zobrazovací rovnice je stejný jak pro kulová zrcadla, tak pro čočky: \[\frac{1}{a}+\frac{1}{a'}=\frac{1}{f}.\] Chceme vyjádřit ohniskovou vzdálenost \(f\). Nejprve převedeme zlomky na levé straně rovnice na společného jmenovatele: \[\frac{a'+a}{a\cdot a'}=\frac{1}{f}.\] Tedy: \[f=\frac{a\cdot a'}{a'+a}.\] V čitateli i ve jmenovateli vytkneme \(a\): \[f=\frac{a\cdot a'}{a\left(\frac{a'}{a}+1\right)},\] \[f=\frac{a'}{\frac{a'}{a}+1}.\] Dosadíme za zlomek \(\frac{a'}{a}\) dle vztahu (3): \[f=\frac{a'}{\left(−\frac{y'}{y}\right)+1}.\] Upravujeme výraz: \[f=\frac{a'}{\frac{−y'+y}{y}},\] \[f=\frac{a'\cdot y}{y−y'}.\tag{4}\] Získali jsme rovnici pro výpočet ohniskové vzdálenosti čočky. U kulového zrcadla nehledáme ohniskovou vzdálenost, ale poloměr křivosti. Proto v následující části vyjádříme vztah pro poloměr křivosti zrcadla.

     

    Poloměr křivosti

    Poloměr křivosti kulového zrcadla odpovídá dvojnásobku jeho ohniskové vzdálenosti: \[r= 2f.\] Dosadíme za \(f\) dle (4): \[r= 2\frac{a'\cdot y}{y−y'}.\tag{5}\]

     

    Číselné řešení

    a) Hledání poloměru křivosti kulového zrcadla

    Zobrazení netopýra dutým zrcadlem

    Ze zadání a užitím znaménkové konvence:

    \(y= 4 \mathrm{cm}\)

    \(y'=−8 \mathrm{cm}\)

    \(a'= 12 \mathrm{cm}\)

    Dosadíme hodnoty do vztahu (5):

    \(r= 2\frac{a'\cdot y}{y−y'}= 2\cdot \frac{12{\cdot} 4}{4−\left(−8\right)} \mathrm{cm}= 2\cdot \frac{48}{12} \mathrm{cm}= 8 \mathrm{cm}.\)

    Jedná se o duté zrcadlo, protože poloměr křivosti má kladnou hodnotu.

     

    b) Hledání ohniskové vzdálenosti spojné čočky

    Zobrazení netopýra spojnou čočkou

    Ze zadání a užitím znaménkové konvence:

    \(y= 4 \mathrm{cm}\)

    \(y'= 8 \mathrm{cm}\)

    \(a'=−12 \mathrm{cm}\)

    Dosadíme hodnoty do vztahu (4):

    \(f=\frac{a'\cdot y}{y−y'}= \frac{−12{\cdot} 4}{4−8} \mathrm{cm}=\frac{−48}{−4} \mathrm{cm}= 12 \mathrm{cm}.\)

     

    Ohnisková vzdálenost má kladnou hodnotu, jak jsme u spojné čočky předpokládali.

  • Odpověď

    a) Poloměr křivosti kulového zrcadla je \( 8 \mathrm{cm}\). Jedná se o duté zrcadlo.

    b) Ohnisková vzdálenost spojné čočky je \( 12 \mathrm{cm}\).

  • Jak daleko před čočkou či zrcadlem se netopýr nachází?

    Hledáme předmětovou vzdálenost \(a\). V obou případech využijeme vztah: \[ \frac{y'}{y}=−\frac{a'}{a}.\tag{3}\] Vyjádříme předmětovou vzdálenost: \[ a=−\frac{y}{y'}a'.\]

    Kulové zrcadlo

    \(y= 4 \mathrm{cm}\)

    \(y'=−8 \mathrm{cm}\)

    \(a'= 12 \mathrm{cm}\)

    Dosadíme:

    \( a=−\frac{y}{y'}a'=−\frac{4}{\left(−8\right)}\cdot 12 \mathrm{cm}=6 \mathrm{cm}.\)

    Spojná čočka

    \(y= 4 \mathrm{cm}\)

    \(y'= 8 \mathrm{cm}\)

    \(a'=−12 \mathrm{cm}\)

    Dosadíme:

    \( a=−\frac{y}{y'}a'=−\frac{4}{8}\cdot \left(−12\right) \mathrm{cm}=6 \mathrm{cm}.\)

    Vidíme, že netopýr se nachází \(6 \mathrm{cm}\) před kulovým zrcadlem či čočkou.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha s vysvětlením teorie
Původní zdroj: Soukup, V. a Veselý, J.: Maturitní otázky z fyziky. (1. vyd.) Praha:
Tutor, c2006.Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
×Původní zdroj: Soukup, V. a Veselý, J.: Maturitní otázky z fyziky. (1. vyd.) Praha: Tutor, c2006.
Zpracováno v diplomové práci Michaely Jungové (2016).
Zaslat komentář k úloze