Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita racionální funkce ve vlastním bodě mimo Df I.

Úloha číslo: 1170

Určete limitu: \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x^2-x-2)^{20}}{(x^3-12x+16)^{10}} \mathrm{.} \]
  • Nápověda 1

    Dosazením \(x = 2\) se přesvědčte, zda-li se skutečně jedná o limitu mimo definiční obor. Jaký kořen určitě mají polynomy v čitateli i jmenovateli?
  • Nápověda 2

    Zjistili jsme, že \(x=2\) je kořenem polynomu v čitateli i jmenovateli. Oba polynomy lze rozložit v součin dvojčlenů. Proveďte.
  • Nápověda 3

    V limitě nahraďte polynomy \(x^2 - x - 2\) a \(x^3 - 12x + 16\) součinem dvojčlenů, které jsme postupným rozkládáním získali. Dále udané mocnění proveďte na jednotlivé dvojčleny.
  • Nápověda 4

    Neboť se k číslu 2 „pouze blížíme“, můžeme mocninu dvojčlenů \((x-2)^{20}\) vykrátit. \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)^{20}(x+1)^{20}}{(x-2)^{20} (x+4)^{10}} = \lim_{x\to 2} \frac{(x+1)^{20}}{ (x+4)^{10}} \mathrm{.} \] Zkusme nyní do takto upravené limity dosadit \(x = 2\).

    Poznámka: Přesné odůvodnění, proč můžeme ve výrazu krátit, je, že výrazy před a po zkrácení jsou si rovny na nějakém prstencovém okolí dvojky, např. \((1{,}3)\setminus\{2\}\), a hodnota limity závisí pouze na hodnotách výrazu na tomto prstencovém okolí, nikoliv na hodnotě v bodě 2.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Dosazením \(x = 2\): \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x^2-x-2)^{20}}{(x^3-12x+16)^{10}} = \lim_{x\to 2} \frac{(2^2-2-2)^{20}}{(2^3-12{\cdot}2+16)^{10}} = \lim_{x\to 2}\frac{0}{0} \]

    dostáváme neurčitý výraz. Jedná se tedy skutečně o limitu mimo definiční obor.

    Zjistili jsme ale, že kořenem mocněných polynomů v čitateli i jmenovateli musí být \(x_1 = 2\).


    Neboť polynom v čitateli lze rozložit na: \[x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)\] a polynom ve jmenovateli na: \[x^3 - 12x + 16 = (x-2)(x-2)(x+4)\mathrm{,}\] lze limitu přepsat do tvaru:

    \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x^2-x-2)^{20}}{(x^3-12x+16)^{10}}= \lim_{x\to 2} \frac{\left((x-2)(x+1)\right)^{20}}{\left((x-2)^2 (x+4)\right)^{10}} = \] \[ =\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)^{20}(x+1)^{20}}{(x-2)^{20} (x+4)^{10}} \mathrm{.} \] Vykrácením a dosazením dostáváme výsledek: \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)^{20}(x+1)^{20}}{(x-2)^{20} (x+4)^{10}} = \lim_{x\to 2} \frac{(x+1)^{20}}{ (x+4)^{10}} = \frac{3^{20}}{ 6^{10}} = \frac{3^{20}}{ 3^{10}\cdot2^{10}} = {\left(\frac{3}{2}\right)}^{10} \mathrm{.} \]
  • Výsledek

    \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x^2-x-2)^{20}}{(x^3-12x+16)^{10}} = {\left(\frac{3}{2}\right)}^{10} \mathrm{.} \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze